Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
б) Сколько возможных реализаций длительностью 8 с имеет данный случайный процесс?
Ответ: 6561.
5.2. Непрерывные и дискретные случайные процессы
Эти термины обычно применяются к возможным значениям случайных величин. Непрерывный случайный процесс — это процесс, для которого случайные величины X (tx), X (t2) и т. д. могут принимать любое значение в пределах заданной области возможных значений. Эта область может быть конечной, бесконечной и полубесконечной. Примерами непрерывных случайных процессов являются тепловые шумы в проводниках, дробовые шумы в электровакуумных приборах и транзисторах, скорость ветра. Типовая реализация такого случайного процесса и соответствующая плотность вероятностей изображены на рис. 5.1. В данном примере область возможных значений процесса является полубесконечной.
Более точное определение непрерывного случайного процесса исходит из того, что его функция распределения непрерывна. Это означает также, что его плотность вероятностей не содержит в себе дельта-функций.
Дискретный случайный процесс — это процесс, для которого случайные величины могут принимать только определенные зна-
Рнс. 5,1. Непрерывный случайный процесс: а — типовая реализация; б — плотность вероятностей.
чения (возможно их бесконечное число) и никакие другие. Например, напряжение, которое случайным образом принимает значения О или 100 В в зависимости от того, открыт или заперт коммутатор (реле), является реализацией дискретного случайного процесса. Это иллюстрируется рис. 5.2. Заметим, что плотность вероятностей содержит только дельта-функции.
№
,_L
2
* _L 2
100
Рис. 5.2. Дискретный случайный процесс: а — типовая реализация; б — плотность вероятностей.
Могут также существовать смешанные случайные процессы, которые имеют как непрерывную, так и дискретную компоненты. Например, ток, протекающий через идеальный выпрямитель, может иметь нулевое значение в течение 50 % времени, как это показано на рис. 5.3. Соответствующая плотность вероятностей имеет как участок непрерывного изменения, так и скачок в виде дельта-функции.
Ряд других примеров случайных процессов будет служить иллюстрацией понятий непрерывного и дискретного случайных процессов. Тепловой шум в электрической цепи — типовой пример
непрерывного случайного процесса, так как его амплитуда может принимать любые положительные или отрицательные значения. Плотность вероятностей теплового шума является непрерывной функцией в области (—оо, оо). Ошибка квантования, связанная с аналого-цифровым преобразованием, рассмотренным в разд. 2.7, представляет собой другой пример непрерывного случайного процесса, так как эта ошибка может принимать любое значение в пределах области, определяемой приращением между уровнями квантования. Плотность вероятностей ошибки квантования обычно полагается равномерной в области возможных ошибок. Этот слу-
а б
Рис. 5.3. Смешанный случайный процесс: а — типовая реализация; б — плотность вероятностей.
чай представляет незначительный отход от строгого в математическом смысле определения, так как плотность вероятностей не является непрерывной функцией в граничных точках. Тем не менее, поскольку плотность вероятностей не содержит дельтафункций, мы будем рассматривать соответствующий случайный процесс в рамках нашей классификации как непрерывный.
С другой стороны, если в качестве случайного процесса рассматривается возрастающее число телефонных вызовов системы телефонной связи, то результирующий процесс окажется дискретным, так как количество вызовов может быть только целым числом. Плотность вероятностей этого процесса содержит множество дельта-функций. Другим примером дискретного случайного процесса является результат квантования выборочной функции непрерывного случайного процесса и формирование при этом другого случайного процесса, принимающего только конечное число возможных значений. Например, 8-разрядный аналого-цифровой преобразователь, на входе которого имеет место сигнал с непрерывной плотностью вероятностей, преобразует его в сигнал с дискретной плотностью вероятностей, содержащей 256 дельтафункций.
Наконец, рассмотрим некоторые смешанные случайные процессы, которые имеют и непрерывную, и дискретную компоненты. Один из примеров — выпрямленная функция времени, рассмотренная выше. Другим примером может служить процесс на вы-
ходе системы, содержащей ограничитель; при этом если значение случайного процесса на выходе меньше предельного значения (порога), то имеет место полное повторение входного случайного процесса. Однако значения на выходе не могут быть больше предельного значения независимо от уровня на входе. Таким образом, имеет место преобразование непрерывного случайного процесса в смешанный случайный процесс, плотность вероятностей которого имеет непрерывную компоненту и две дельта-функции.
Во всех упомянутых случаях реализации непрерывны во времени, т. е. случайная величина может быть определена для любого момента времени. Ситуации, соответствующие существованию случайных величин только для определенных моментов времени (точечные процессы или временные последовательности), в данной главе не рассматриваются.
