Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
аппроксимировать их средние значения. Поэтому обычно для аппроксимации используют полиномы первой и второй степени. В этом разделе мы ограничимся полиномом первой степени, чтобы сохранить простоту при описании существенных аспектов метода. Метод аппроксимации полиномом первой степени называют линейной регрессией.
Уравнение линейной регрессии имеет вид
у = а + Ьх, (4.22)
в котором следует определить значения а и Ъ, удовлетворяющие
(4.21). Для этого запишем (4.21) в форме
П
? \Hi + bXi)f = min.
i=i
Чтобы минимизировать это выражение, продифференцируем его по а и по b и приравняем производные нулю. В результате получим систему уравнений
п п п п п
? Ус = ал + Ь 2 Xi, ? Xiyc = а ? xt + Ъ ? х\,
t=1 1 = 1 1 = 1 г=1 i=1
решив которую, найдем искомые значения а и Ь:
Ь = (пЪ Хф - S X, ? J 1(п S ^ - ( ? Х.-У) , (4.23)
\ 1=1 1=1 t=l // \ (= 1 \1=1 ) /
[ п п п п \ I / п ( п \ 2 \
S yi S 4- s ^ Е U Е*?- Е* =
\ * = 1 t-=l t=l / j \ i=l \i=l / /
= (!/«) Е У1 - Ф1п) E (4.24)
t = l 1 = 1
Хотя формулы (4.23) и (4.24) достаточно сложны, значения а и Ь нетрудно вычислить с помощью ЭВМ или программируемого микрокалькулятора.
Таблица 4.3
Зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды
« °С У1- в i °с </?. в
1 10 420 6 60 290
2 20 410 7 70 300
3 30 360 8 80 270
4 40 360 9 90 210
5 50 340 10 100 200
Для иллюстрации рассмотрим пример. Пусть производителю конденсаторов требуется найти зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды. Результаты испытаний 10 конденсаторов при различных температурах приведены в табл. 4.3. По формулам (4.23) и (4.24) найдем, что а = 451,33, а Ь=—2,406. Таким образом, уравнение регрессии имеет вид U11V = 451,33—2,4067", где U„v (= г/г) — пробивное напряжение конденсатора, а Т (=х;) — температура окружающей среды. Соответствующая диаграмма рассеяния и линейная регрессия показаны на рис. 4.5.
При аппроксимации результатов измерений полиномами более высоких степеней применим подобный способ. Понятно, что чем выше степень полинома, тем сложнее найти оптимальные значения его коэффициентов. Однако известны очень эффективные матрич* ные формулы, позволяющие применить численные методы решения задачи аппроксимации.
Температура ,°С
Рис. 4.5. Линейная регрессия для экспериментальных данных, показывающих зависимость пробивного напряжения конденсатора от температуры окружающей
среды.
Упражнение4.6.1. Четыре электрические лампы испытывают с целью определения зависимости их продолжительности службы от напряжения питания. Результаты измерений приведены в таблице. Определите коэффициенты уравнения линейной регрессии и постройте на соответствующей диаграмме рассеяния линию регрессии. Ответ: 4185, —28,6. Упражнение 4.6.2. Пусть линия регрессии из упр. 4.6.1 проходит через все точки на диаграмме рассеяния, соответствующие полученным эксперимен-
С В </;¦ ч
1 105 1200
2 110 1000
3 115 920
4 120 750
гальным данным о напряжении питания. Определите среднюю продолжительность службы лампы, работающей при напряжении
а) 95 В, б) 125 В, в) 117 В.
Ответы: 838,8 ч, 610 ч, 1468 ч.
ЗАДАЧИ
4.2.1. Пусть с помощью микрокалькулятора получена следующая последовательность случайных чисел: 0,276, 0,123, 0,072, 0,324, 0,815, 0,312, 0,432, 0,283, 0,717. Определите для нее:
а) выборочное среднее,
б) выборочную дисперсию, если получаемые с помощью микрокалькулятора случайные числа равномерно распределены в интервале от 0,000 до 0,999,
в) объем выборки, если среднее квадратическое отклонение выборочного среднего не должно превысить 0,01.
4.2.2. При помощи опроса общественного мнения выясняют популярность двух кандидатов в президенты. Ответам в пользу первого и второго кандидатов приписывают соответственно значения ~fl и —1.
а) Определите выборочное среднее, если 60 % опрощенных высказались в пользу первого кандидата.
б) Найдите зависимость выборочного среднего от объема выборки и доли опрошенных, высказавшихся в пользу первого кандидата.
в) Определите, каков должен быть объем выборки, чтобы при определении доли опрошенных, высказавшихся в пользу первого кандидата, среднее квадратическое отклонение не превысило 0,1 % ?
4.2.3. Математическое ожидание и дисперсия оценок, полученных на экзамене студентами группы из 50 человек, соответственно равны 70 и 12 *. Это математическое ожидание нужно оценить по выборке оценок без возвращения. Определите:
