Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 4.5.1. Для биполярных транзисторов определенного типа указывается, что средний их коэффициент усиления по постоянному току Р ^ ^ 200. При испытании установлено, что выборочный средний коэффициент усиления равен 190 и его несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение равно 40. Можно ли с вероятностью 0,95 считать, что для транзисторов этого типа Р ^ 200, если объем выборки равен
а) 100? б) 20?
Ответы: г = —2,5; гс = —1,645: нет; t=—1,118; te = —1,729: да.
Упражнение 4.5.2. Для биполярных транзисторов некоторого типа указывается, что их средний допустимый ток коллектора равен 4 мА. При испытании установлено, что выборочный средний допустимый ток равен 4,2 мА и несмещенное выборочное среднее квадратическое отклонение этого тока равно 0,8 мА. Можно ли с вероятностью 0,95 считать, что средний допустимый ток коллектора транзисторов этого типа равен 4 мА, если объем выборки равен:
а) 100? б) 20?
Ответы: г = 2,5, гс = ±1,96: нет; t = 1,118; te = ±2,090: да.
4.6. Аппроксимация экспериментальных данных и линейная регрессия
Тема, которой посвящен этот раздел, стоит в стороне от вопросов, изложенных в предыдущих разделах, однако она отражает одно из важных приложений математической статистики к инженерной практике. Часто при анализе статистических данных выясняется, что между двумя и более случайными величинами имеется связь, которую нужно описать математически. Например, рассмотрим совокупность статистических данных, описывающих зависимость продолжительности службы электрических ламп от
поданного на них напряжения. Эти данные можно представить в виде диаграммы рассеяния (рис. 4.3), на которой каждой точке соответствует продолжительность службы, экспериментально найденная при данном напряжении.
Приведенная на этом рисунке непрерывная линия наилучшим в некотором смысле образом аппроксимирует экспериментальные данные и определяет соответствующую математическую зависимость между ними в форме функции определенного аргумента. Цель настоящего раздела — продемонстрировать один способ получения такого математического выражения.
Рис. 4.3. Диаграмма рассеяния экспериментальных данных о продолжитель. ности службы электрических ламп в зависимости от приложенного к ним напряжения.
В последующем для удобства будем как под аргументом, так и под функцией понимать случайные величины X и Y соответственно. Поскольку экспериментальные данные, рассматриваемые нами, представляют собой наборы чисел, то, придерживаясь принятой выше системы обозначений, при их записи будем использовать подстрочные индексы. Таким образом, если объем выборки равен п, значения, принимаемые случайными величинами X и Y, будем обозначать хг, х2, ..., хп и уг, у2, ..., уп соответственно. В частности, для рис. 4.3 значениями хг, х2, ..., хп можно считать приложенные напряжения, а значениями ylt у2, ..., уп — соответствующие этим напряжениям продолжительности службы.
Задача, связанная с подбором математического выражения, описывающего связь между экспериментальными данными, называется аппроксимацией. Само математическое выражение называют уравнением регрессии (регрессией), а соответствующую кривую — линией регрессии. Чтобы подобрать наилучшую в некотором смысле регрессию, сперва необходимо установить критерий, с помощью которого определить, что такое «иаилучшая» регрессия. Обратимся к рис. 4.4, где приведен пример набора экспериментальных данных и соответствующей ему линии регрессии.
На этом рисунке показаны отклонения dt, i = 1, 2, п линии регрессии от точек, соответствующих значениям, принимаемым случайными величинами X и Y. Одним из широко применяемых на практике критериев оптимальности регрессии является критерий минимума суммы квадратов. В соответствии с этим критерием наилучшее согласование линии регрессии с результатами измерения достигается при выполнении условия
di-i-dU-------b dn - min. (4.21)
Рис. 4.4. Отклонение линии регрессии от экспериментальных данных на диаграмме рассеяния.
Его применение позволяет при определении линии регрессии использовать хорошо разработанный метод наименьших квадратов, обеспечивающий построение линии регрессии, характеризуемой минимальным средним квадратом ее отклонения от результатов эксперимента. Обратите внимание на то, что критерий минимума среднего квадрата предполагает равенство вклада в (4.21) отклонений, отличающихся лишь знаком, а также определяет, что большие по абсолютной величине отклонения входят в (4.21) с большим собственным весом.
После определения критерия оптимальности регрессии следует перейти к выбору типа уравнения регрессии. Тип уравнения в значительной мере зависит от вида экспериментальных данных, однако наиболее часто используют полином вида
у = а -Ь Ьх ~Ь сх2 ~Ь ... ~Ь kx!.
Можно построить кривую, описываемую полиномом (п — 1)-й степени и проходящую через все п точек, однако такой способ обычно не используется, поскольку не приводит к сглаживанию кривой, хотя график этого полинома будет проходить через все заданные точки, и сумма квадратов отклонений будет равна 0. Поскольку результаты измерений, как правило, случайны, предпочтительно
