Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
F (s) - Ну (s) + Я2 (s) + • • •+ Hh (s) + q (s),
где первые k членов принадлежит к главной части ряда Лорана относительно k полюсов, a q (s) — полином вида q (s) = а0 + -f axs + a2s2 + ¦ • amsm, характеризующий поведение функции F (s) при больших s. Величина т определяется разностью показателей полиномов числителя и знаменателя, что справедливо до тех пор, пока остаток деления имеет показатель, меньший показателя знаменателя. Остаток деления может быть затем разложен на его главные части.
Что касается проблемы определения вычетов, единственным вопросом, на который осталось дать ответ, является установление связи между замкнутым контуром в (И.З) и разомкнутым (прямолинейным) контуром интегрирования в (И.1) и (И.2). Эта задача легко решается путем ограничения класса рассматриваемых подынтегральных функций теми из них, которые при больших значениях своих аргументов достаточно быстро стремятся к нулю, а значит, вклад от удаленных участков контуров интегрирования в интересующие нас интегралы будет незначителен. Таким образом, хотя действительный контур интегрирования в s-плоскости представляет собой прямую с пределами от s = с — /оо до s — = с + /оо (см. формулу (И.1)), для вычисления интеграла вос-
(s0) обозначает (я — 1)-ю производную функции ф (я) по аргументу s при s = Sq.
пользуемся замкнутым контуром интегрирования, изображенным на рис. И.1. Замкнутый контур интегрирования состоит из отрезка Ci ([с — jR0, с + /ад и полуокружности С2, замыкающей его слева. Тогда интеграл по замкнутому контуру равен
(j) F(s)ds = jF(s)ds-j- j F(s)ds. (И.8)
Cj-f-Cg Ci Cs
В пределе при R0 -> o° второй интеграл в правой части выражения (И.8) равен нулю, тогда
С-\-} оо
[ F(s)ds = lim (j) F (s) ds = 2я/ (вычеты в полюсах).
с—/оо
(И.9)
В каждом отдельном случае можно убедиться в том, насколько существенным оказывается вклад интеграла по контуру С2 в общий интеграл. Ниже приводятся два частных случая, имеющих место во многих ситуациях, когда возникает проблема учета этого интеграла:
1. Всякий раз, когда F (s) является рациональной функцией, показатель знаменателя которой превышает по крайней мере на два порядка показатель числителя, справедливо равенство
/
fC2
+
/<у
_____I s-плоскость
I
I С,
фс
I
I
. J
Рис. И.1. Контур интегриро-вания в s-плоскости.
C-J-/00
j F (s) ds
(j) F (s) ds.
с—у" оо С j-J-C g
2. Если Fx (s) является аналитической функцией в левой полуплоскости, за исключением конечного числа полюсов, и равномерно стремится к нулю при |s|-^oohct<0(ct— вещественная ось на s-плоскости — см. рис. И.1), то для положительных t справедливо равенство (лемма Жордана)
lim [ Fi (s) esi ds = 0.
#o=°° c2
Отсюда следует, что когда эти условия выполнены, оригинал / (/), получаемый из формулы обращения преобразования Лапласа, может быть определен следующим образом:
С+/оо
f (0 = (1/2 я/) J Fi (s) est ds =
С—/оо
= (1/2я/) (j) Fx (s) est ds=S
где k} — вычет относительно /-го полюса, расположенного в левой полуплоскости.
Рассмотрим два примера, иллюстрирующие применение приведенных процедур.
Пример 1. Пусть случайный процесс X (t) имеет спектральную плотность вида
Sx («) = 1/(<о2 + 1) (<о2 + 4).
Требуется определить значение среднего квадрата этого процесса. Осуществляя замену переменной вида to = —js, получим
Sx (s) = 1/(-«2 + 1) (-s2 + 4) = l/(s2 - 1) (s2 - 4).
Тогда значение среднего квадрата равно
/с©
X2 = (1/2я/) \ ds/(s* - 1) (s2—4)-1 = k_x + k_2.
—/оо
Используя разложение Sx (s) на простые дроби, [получим значения вычетов
k_x = 1/(—1—1) (1-4) = 1/6, k-2 = 1/(4 — 1) (—2—2) = —1/12.
Тогда окончательно имеем
X* = 1/6 _ 1/12 = 1/12.
Пример 2. Требуется найти обратное преобразование Лапласа функции F (s) = 1/s (s + 2). Имеем
С+l со
f (t) = (1/2я/) f jes7s(s -f 2)} ds = k0 -f- fe_2.
С—/ oo
Используя (И.7), вычислим вычеты
k0 = esi/(s -f- 2) |s—о — Vs> k_2 = est/s |s=_2 = e~2il(— 2), откуда имеем окончательный результат
f(t) = 4 а(1-е-«).
ЛИТЕРАТУРА
1. Churchill R. Operational Mathematics, 2nd Ed., New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., Inc., 1958.
