Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Важным свойством аналитических функций является возможность представления этих функций в пределах области их аналитичности сходящимися рядами. Используем это свойство для представления функций в окрестности особых точек. Рассмотрим функцию F (s), имеющую полюс ti-то порядка при s = s0. Введем новую функцию cp (s), которую определим следующим образом:
ф (s)- (s-Sb)»F(S). (И.4)
Тогда ф (s) будет аналитической функцией в окрестности s0, так как устранена особенность функции F (s). Поэтому для функции Ф (s) можно использовать разложение в ряд Тейлора в виде
Ф (s) == А_п -)- А_п+1 (s — s0) -j- A_n+2 (s -- s0)2 + •••-}- А_х (s—Sq)"-1 +
00
+ 2j Bh (s - s0)n+fc. (И.5)
k=0
Выполняя подстановку (И.5) в (И.4), получим для F (s) выражение
F (s) = [A_J(s — So)"] -j- [>l_n+i/(s — so)n~'] "b • • • H~ I^-i/(s — «о)] +
+ S Bft(s-Sb)*.(H.6)
k=0
Это разложение справедливо в окрестности полюса s = s0. Данный ряд сходится внутри круга (кольца) с центром в точке s0. Соотношение (И.6) называется разложением в ряд Лорана или просто рядом Лорана для функции F (s) в окрестности особой точки s = s0. Разложение вида (И.6) включает в себя две компоненты: первую, содержащую члены (s — s0) с отрицательными показателями и называемую главной частью ряда, и вторую, содержащую члены с нулевым и положительными показателями и называемую частью в виде ряда Тейлора или правильной частью ряда. Следует заметить, что вторая компонента представляет собой аналитическую
функцию в пределах комплексной s-плоскости (исключая бесконечность), принимающую при s = s0 значение В0. Если бы функция F (s) не обладала особенностью, то в разложении (И.6) присутствовала бы только вторая компонента, а именно разложение в ряд Тейлора. Коэффициент А_х члена А_х (s — s0)-1 в выражении (И.6) называется вычетом функции F (s) в полюсе s = s0.
Формально коэффициенты разложения в ряд Лорана могут быть определены путем разложения функции ср (s) в ряд Тейлора и последующего деления результата на (s — s0)n. В большинстве случаев, возникающих в инженерной практике, могут быть использованы более простые методы. В силу свойства единственности представления аналитических функций следует, что какое-либо разложение адекватного вида (т. е. вида (И.6)) действительно должно быть рядом Лорана. Когда F (s) есть отношение двух полиномов относительно s, существует простая процедура разложения в ряд Лорана, а именно: необходимо ввести в рассмотрение функцию ф (s) = (s — s0)nF (s), затем осуществить замену переменных вида s —s0 = v, т. е. s = v + s0, далее разложить функцию ф (v +s0) относительно точки v = 0 делением знаменателя на числитель и наконец заменить v на (s — s0). В качестве примера рассмотрим функцию F (s) вида F (s) = 2/s2 (s2 — 1). Пусть требуется определить разложение в ряд Лорана этой функции в окрестности точки s— —1. Функция ф (s) имеет вид
Ф (s) = 2/s2 (s — 1).
В результате замены переменной вида s = v — 1 получим
Ф (v — 1) — 2/(v2 — 2v -j- 1) (v — 2) = 2/(v3 — 4v2 -)- 5v — 2) =
1 l -- (V3 _ 4V2 + 5v _ 2)/2 — (V3 — 4v2 + 5v)/2 — 1 —
1
— 1 — [(v3 —4v2 + 5v)]/2 ’
тогда, ограничиваясь членами второго порядка малости, получим
Ф (v — 1) = — {1 + [(v3 — 4v2 + 5v)/2] + [(v3 — 4v2 5v)/2]2} «
« — 1 — (5/2) v — (17/4) v2 — ¦ • • .
Осуществляя замену v — 1 = s, запишем
Ф (s) = -1 - 5/2 (s + 1) - (17/4) (s + l)2 - ...;
F (s) = -l/(s + 1) - B/2 - (17/4) (S + 1) - ....
Очевидно, что вычет равен —1.
Существует полезная на практике формула для вычисления вычета относительно я-кратного полюса s = s0
ff,. = чХ»-») Ы/(л - 1)!, (И.7)
где ф (s) = (s — s0)nF (s). Из этой формулы при п = 1 легко получить формулу вычета относительно простого полюса. Правомерность данного соотношения не ограничивается классом рациональных функций.
Когда функция F (s) не представляет собой отношение полиномов, допустима ее замена разложением в ряд в окрестности
полюса, как, например, функции F (s) = (sin s)/s2:
F (s) = (sin s)/s2 = (1/s2) [s — (s3/3!) +
+ (s5/5!) -...] = (1/s) - (s/3!) + (s3/5) - ... .
В данном примере вычет для F (s) относительно полюса s = О равен единице.
Существует прямая связь между рядом Лорана и разложением функции F (s) на простые дроби. В частности, если #г (s) — главная часть разложения функции F (s) в ряд Лорана относительно полюса s = s0, то ее разложение на простые дроби может быть представлено в виде
