Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
НАЧАЛО (ЕДИНИЦА = 2, ФАЙЛ = «ДАННЫЕ», СТАТУС = «СТАРЫЕ»)
ВЫПОЛНИТЬ 4 П = 0, (mm — 1)
4 ЧИТАТЬ (2,5) ДАННЫЕ (il)
5 ФОРМАТ (f 10.7)
С
С ВЫЧИСЛИТЬ ОЦЕНКУ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ И МАКСИМАЛЬНУЮ С ДИСПЕРСИЮ ОЦЕНКИ
ПЕЧАТЬ*, «ОЦЕНОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ РАВНЫ:» ВЫПОЛНИТЬ 20 п = 0, пп
ВЫПОЛНИТЬ 30 i2 = 0, (mm — п — 1) г (п) = г (п) + ДАННЫЕ (i2)* ДАННЫЕ (i2 + п) 30 ПРОДОЛЖИТЬ
г (п) = г (n)/(mm — п)
ПЕЧАТЬ*, «R («, п, »)», г (п)
20 ПРОДОЛЖИТЬ С
С ВЫЧИСЛИТЬ ОЦЕНКУ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
С ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОКНА
ХЭММИНГА
С
ПЕЧАТЬ*, «ЗНАЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ РАВНЫ:»
ВЫПОЛНИТЬ 40 q = 0, пп
СУММА = 0,0
ВЫПОЛНИТЬ 50 i5 = 1, (пп — 1)
СУММА = 2,0* г (i5) * cos (q*i5 * ПИ/пп) + + СУММА 50 ПРОДОЛЖИТЬ
rs (q) = г (0) + г (nn) * cos (q * i5 ПИ/пп) + СУММА 40 ПРОДОЛЖИТЬ rs (—1) = rs (1) rs (пп + 1) = 0,0
С
ВЫПОЛНИТЬ 60 q = 0, пп
hs (q) = 0,54 *rs (q) + 0,23 * (rs (q -f 1) -f rs (q — 1)) ПЕЧАТЬ*, «S (», q * ПИ/пп,») = », hs (q)
60 ПРОДОЛЖИТЬ СТОП КОНЕЦ
И. Интегрирование по контуру
При анализе линейных систем часто приходится иметь дело с интегралами следующих типов:
C-V-J'cc
(1 /2Jt/) J F(s)estds, (И.1)
(1/2я/) J Sx(s)ds. (И.2)
Интеграл (ИЛ) представляет собой формулу обращения преобразования Лапласа, а интеграл (И.2) определяет значение среднего квадрата случайного процесса X (/), имеющего спектральную плотность Sx (s). Эти интегралы могут быть вычислены элементарными методами только в незначительном числе частных случаев. Однако вследствие достаточно «хорошего» в общем случае поведения подынтегральных функций эти интегралы часто
могут быть вычислены с помощью простой процедуры, предполагающей использование метода вычетов. Этот метод основан на применении теоремы о вычетах теории функций комплексного переменного и формулируемой следующим образом: если функция F (s) аналитична внутри замкнутого контура С и на нем (иногда в формулировке теоремы используется термин «регулярна в односвязной области». — Перев.), за исключением конечного числа особых точек, то интеграл от функции F (s) по этому замкнутому контуру равен произведению 2я/ на сумму вычетов относительно полюсов F (s), лежащих внутри контура С. Тогда
(j) F (s) ds = ,2яj ^ |(вычеты относительно полюсов). (И.З)
с
Левая часть выражения (И.З) означает, что осуществляется умножение выбранных значений функции F (s) на каждом из интервалов разбиения контура С на длины этих интервалов и суммирование полученных произведений по всему контуру. Обход контура (т. е. путь интегрирования) осуществляется против часовой стрелки. Изменению направления обхода соответствует появлению знака «минус» в правой части (И.З).
Чтобы использовать (И.З) при вычислении интегралов вида (И.1) и (И.З), необходимо реализовать два этапа: во-первых, освоить метод вычисления вычета относительно некоторого полюса и, во-вторых, связать интегрирование по замкнутому контуру с вычислением определенного интеграла, для которого путь интегрирования (см. И.1 и И.2) не является замкнутым.
Сначала рассмотрим вопрос, связанный с полюсами и определением вычетов относительно них. Некоторая однозначная функция F (s) называется аналитической в точке s = s0, если она дифференцируема в каждой точке окрестности s0, включая саму sQ. Функция называется аналитической в некоторой области комплексной плоскости (s-плоскости), если она является аналитической в каждой точке этой области. Если функция аналитична в каждой точке окрестности s0, исключая саму s0, то s0 называется особой точкой. Например, функция F (s) = 1 f(s — 2) имеет производную F' (s) = —l/(s — 2)2. Очевидно, что эта функция является аналитической всюду, кроме точки s = 2. Изолированной особой точкой называется некоторая точка в области, в пределах которой функция аналитична всюду, кроме этой точки. Ясно, что вышеприведенная функция имеет изолированную особую точку, соответствующую s = 2. Наиболее часто приходится иметь дело со случаем, когда особой точкой является полюс. Говорят, что функция F (s) имеет полюс n-го порядка (порядка п) в точке s = s0, если для этой функции, равной бесконечности при s = s0, при ее умножении на (s — s0)", где п — целое положительное число, устраняется
сингулярность F (s). Например, функция 1/sin s имеет полюс, равный s = 0, и может быть записана в виде
F (s) = 1/sin s = l/[s — (s2/3!) +
+ (s6/5!) - ...].
Умножая эту функцию на s (что означает умножение на (s — s0) при s = 0), получим функцию
Ф (s) = s/ls— (s3/3!) + (s6/5!)+ ...] =
= 1/[1 — (s2/3!) + (s4/5!) + ...],
которая «хорошо ведет себя» при s 0. Поэтому можно заключить, что функция 1/sin s имеет простой полюс (т. е. полюс 1-го порядка) при s = 0.
