Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
= - (2s? - 5)/(s? - 1) (s2 — 4),
откуда следует
Fi (s) = /2 (s + /23)/(s + 1) (s + 2). (9.44)
Поэтому передаточная функция обеляющего фильтра равна
ВД = 1 /Ft (s) = (s + 1) (s + 2)//2 (s + /23). (9.45)
Передаточная функция H2 (s) второго фильтра (см. рис. 9.12) легко определяется из соотношения
Sx(s)/Fi (-s) = t—1/(яР—1)1 (-s+1) (-s+2)//2 (—S+/23) =
= (s- 2)//2(s+ l)(s-/^5),
которое может быть представлено в виде разложения на простые дроби
(s)/Ft (- s) = [0,822/(s + 1)] - [0,115/(s - /2^)].
Следовательно, передаточная функция Н2 (s) равна
Я2 (s) = [Sx (s)/Ft (—s)]L = 0,822/(s + 1). (9.46)
Тогда передаточная функция оптимального фильтра в целом определяется как
Н (s)=Ht (s) Н2 (s) - [(s + 1) (s + 2)//2 (s + /2^)1 W,822/(s+1)]=
= 0,582 (s + 2)/(s + |/ 23). (9.47)
Следует заметить, что полученный оптимальный фильтр в целом по своей структуре проще обеляющего фильтра и может быть реализован с помощью ^С-цепи.
Теперь остается оценить характеристики оптимального фильтра, т. е. определить истинное значение минимального среднего квадрата полной ошибки. Решение этой задачи в значительной степени упрощается, если для оптимальной системы данного типа считать достоверным факт некоррелированности остаточной ошибки и процесса на выходе системы. Если бы это утверждение не было справедливым, то можно было бы и далее выполнять линейные операции над выходным сигналом и получать при этом ошибки еще меньшей величины. Таким образом, минимальное значение среднего квадрата ошибки представляет собой просто разность между значениями среднего квадрата входной сигнальной компоненты и суммарного процесса на выходе фильтра:
/го
(?8 + М%1п = (1/2я/) jj Sx (s) ds -
—/со
/оо
— (1/2я/) S [Sx(s) + SN(s)]H($)H(-s)ds, (9.48)
—/со
где Я (s) определена в соответствии с (9.43).
Приведенный результат может быть использован для определения минимального значения среднего квадрата ошибки применительно к фильтру Винера, описываемому передаточной функцией вида (9.47). Первый интеграл в (9.48) легко вычислить либо с помощью табл. 7.1, либо путем суммирования вычетов. В итоге получим
/со /со
(1/2л/) j Sx(s)ds = (l/2nj) j [— l/(s2 — l)]ds = 0,5.
—/со —/со
Аналогично вычисляется второй интеграл в (9.48):
/со
(1/2яу) J [Sx (s) + SN (s)] Я (s) Я (—s) ds =
—/00
/со
= (l/2nj) 5 [— (2s2—5)/(s3—1) (s2—4)] (0,582)2 (s2—4)/(s2— 2,5) ds =
— /oo
/со
= (1/2я/) 5 [—2 (О.бвг)2/^ - 1)] ds = 0,339.
—/CD
Тогда минимальное значение среднего квадрата ошибки равно
(Е2 + М2)гаШ = 0,5 - 0,339 = 0,161.
Представляет интерес сравнить это значение с полученным в отсутствие фильтра. В этом случае отсутствует сигнальная ошибка, а средний квадрат полной ошибки равен среднему квадрату шума
/со
Ё* + ~Мл=Л* = (1/2п1) J [—l/(s2-4)]ds = 0,25.
—/со
Отсюда очевидно, что использование фильтра приводит к существенному уменьшению полной ошибки, причем степень этого уменьшения была бы еще более ощутимой при более широкой полосе входного шума.
Упражнение 9.6.1. Осуществляется наблюдение (прием) аддитивной смеси случайного сигнала со спектральной плотностью вида
(s) = -l/(s2 - 1)
и шума со спектральной плотностью
Sjv (s) = s2/(s2 — 1).
Определите минимальное значение среднего квадрата ошибки между входным сигналом и суммарным процессом на выходе оптимальной системы, в качестве которой используется линейный каузальный фильтр.
Ответ: 0,375.
Упражнение 9.6.2. Осуществляется наблюдение аддитивной смеси случайного сигнала X (/) со спектральной плоиюстью вида 5 a- (s) = —2s2/ (s4 — 13s2 -Ь 36)
и белого шума, спектральная плотность которого равна 1. Определите полюсы и нули передаточной функции оптимального каузального фильтра Вииера, минимизирующего средний квадрат ошибки (разности) между входным сигналом и суммарным сигналом на выходе фильтра.
Ответы: 0, —Y3, —2JГ3.
ЗАДАЧИ
9.2.1. Для каждой из ситуаций, перечисленных ииже, укажите, какой из критериев оптимальности целесообразно использовать: максимума отношения сигнал/шум или минимума среднего квадрата ошибки:
а) Система автоматического регулирования, подверженная воздействию случайных возмущений.
б) Система автоматического управления полетом самолета.
в) Импульсная радиолокационная система.
