Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
- Sx (s)/F, (s)] + S* (s) SN (S)/Ft (s) Ft (- s)} ds. (9.39)
Теперь можно заметить, что последнее слагаемое в подынтегральном выражении (9.39) не включает Н (s). Следовательно, с учетом того что произведение, являющееся первым слагаемым подынтегрального^ выражения, не может быть отрицательным, минимум суммы Е2 + Мг будет иметь место при равенстве его сомножителей нулю. Это означает, что оптимальная передаточная функция Н (s) равна
Н (s) (s)/[Ft (s) Ft (- s)] (s)/[5x (s) f- (s)]. (9.40)
Справедливость полученного результата казалась бы очевидной, за исключением того, что функция, определяемая (9.40), является симметричной в s-плоскости, а следовательно, не может быть аналитическим представлением каузальной системы.
Так как передаточная функция Н (s), определенная соотношением (9.40), не описывает каузальную систему, напрашивается процедура, заключающаяся в использовании полюсов и нулей левой полуплоскости выражения (9.40) для описания каузальной системы. Здесь можно было бы провести аналогию с «отбрасыванием» части функции s (t0 — t) при t < 0 для рассмотренного в предыдущем разделе согласованного фильтра. К. сожалению, эта задача не является столь простой, так как в данном случае случайный процесс X (t) + N (?) на входе системы не является белым шумом. Если бы этот процесс был белым шумом, то его корреляционная функция представляла бы собой б-функцию и, следовательно, все будущие значения входного процесса были бы некоррелированны с его настоящими (текущими) и прошлыми значениями. Таким образом, система, которая не может реагировать на будущие входные воздействия (т. е. каузальная система), не будет отвергать использование любой информации, какая только может привести к улучшению оценки сигнала. Поэтому представляется, что первый шаг в определении структуры кау-
зальной системы должен заключаться в преобразовании суммы сигнала и шума в белый шум, что требует применения обеляющего фильтра.
Из (9.38) очевидно, что если передаточная функция фильтра #! (s) равна
Нг (s) = \/Fi (s), (9.41)
то процесс на его выходе является белым шумом, так как справедливо равенство
[<Sx (s) + Sjv(s)] Hi(s)H1 (— s) = [S*(s) -f- Sjv (s)]/Ft (s) Ft (— s) = 1.
Кроме того, Hi (s) описывает каузальную систему, так как Ft (s) по определению имеет полюсы и нули только в левой полуплоскости. Таким образом, Нг (s) — передаточная функция обеляющего фильтра для суммы входного сигнала и входного шума.
Еще раз проанализируем член (F{(s) H(s) — [Sx(s)/Fi(—s)]} в подынтегральном выражении (9.39), который мы полагали равным нулю. Наличие полюсов, расположенных в правой полуплоскости, обусловлено вторым его членом, который в свою очередь мы можем представить (путем разложения на простые дроби) в виде суммы двух слагаемых, одно из которых имеет полюсы только в левой полуплоскости, а другое — только в правой полуплоскости. Тогда в целом выражение для этого сомножителя будет иметь вид
Ft (s) Н (s) - [Sx (s)/Fi (— s)] =
= Ft (s) H (s) - [Sx (s)/Fi (- s)]L - [Sx (s)/Ft (- s)]*, (9.42)
где индексы «L» и «7?» означают соответственно полюсы только левой и только правой полуплоскости. Теперь ясно, что для Н (s), описывающей каузальную систему, анализируемый сомножитель нельзя полагать равным нулю, а наименьшее значение, которое он может иметь, может быть получено путем приравнивания нулю разности первых двух членов в правой части (9.42):
Fi(s)H(s)-[Sx(s)/Ft(-s)]L = 0,
И гти
н (S) =- [ l/Ft (s)] [Sx ($)lFt (- s)]b. (9.43)
Заметим, что первый коэффициент в (9.43) представляет собой передаточную функцию Нх (s) обеляющего фильтра. Таким образом, лучшее, что может быть сделано для минимизации среднего квадрата общей ошибки, — это избавиться от некаузальных компонент (т. е. компонент, описывающих некаузальные системы) во втором сомножителе в (9.43).
Оптимальный фильтр, минимизирующий средний квадрат общей ошибки, часто называют фильтром Винера (винеровским фильтром). Он может рассматриваться в виде двух последовательно
включенных устройств (рис. 9.12), первое из которых является обеляющим фильтром с передаточной функцией Нх (s), а второе, имеющее передаточную функцию Н2 (s), — собственно фильтром. Часто функции Нх (s) и Н2 (s) имеют общие сомножители, после взаимного сокращения которых общая передаточная функция приобретает более простой вид, чем это можно было ожидать, и становится более простой в реализации, нежели каждый из ее исходных сомножителей Я1 (s) и Н2 (s).
В качестве примера фильтра Винера рассмотрим случай, когда входной полезный сигнал X (t) и входной шум N (t) имеют соответственно спектральные плотности Sx (s) = —l/(sa — 1) и
SxfsJ + Sa^s> HiW- F,(s) Г SxfsH Sy(s) + Su(s)
L
H(s) = H1(s)H!(s)
Рис. 9.12. Оптимальный фильтр Винера.
SN (s) = —l/(sa — 4), тогда имеем
Ft (s) Ft ( s) = S* (s) + S* (s) ¦= l~l/(s3 - 1)] - [l/(s* - 4)] =
