Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
ружения. Тем не менее тот факт, что анализ оптимальных систем предполагает такую возможность, заставляет обратить внимание на важность использования реальных математических моделей полезных сигналов при получении структур и анализе согласованных фильтров в случае воздействия небелого шума.
Упражнение 9.5.1. Сигнал, описываемый выражением s (t) = 1,51 [и (t) — и (t — 2) ],
должен быть обнаружен с помощью согласованного фильтра при воздействии белого шума, спектральная плотность которого равна 0,15 В2/Гц.
а) Определите наименьшее t0, позволяющее получить максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.
б) Для этого t0 вычислите значения импульсной характеристики согласованного фильтра при t = 0, 1 и 2.
в) Определите максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.
Ответы: 0, 1,5, 2, 3, 5.
Упражнение 9.5.2. Сигнал, описываемый выражением s (/) = 5 ехр [— (/ + 2)] и (t + 2),
должен быть обнаружен с помощью согласованного фильтра при воздействии белого шума, спектральная плотность которого равна 0,25 В2/Гц.
а) Для t0 =¦ 2 определите значения импульсной характеристики согласованного фильтра при t = 0, 2 и 4.
б) Определите максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра, достижимое при t0 оо.
в) Определите значение t0, при котором отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра составляет 0,95 от определенного в п.б.
Ответы: —0,502, 0,0916, 0,677, 5, 50.
9.6. Оптимальные системы, минимизирующие средний квадрат ошибки
В данном разделе рассматриваются системы, минимизирующие средний квадрат ошибки (разности) между суммарным сигналом на выходе системы и полезным сигналом на ее входе, когда входной сигнал является стационарным случайным процессом. Предполагается, что эти системы, структуры которых не являются заданными, ограничены классом линейных и каузальных систем.
Представляется целесообразным выполнить анализ этих систем с использованием комплексной s-плоскости, хотя аналогичную задачу можно решить и методом анализа во временной области. Соответствующие обозначения иллюстрируются рис. 9.11, где Sx (s) — спектральная плотность входного случайного сигнала X (i), SN (s) — спектральная плотность входного шума N(t), SY (s) и SM (s) — соответственно спектральные плотности выходного сигнала Y (t) и выходного шума М (?). Допущение о том, что входным шумом является белый шум, не приводит к существенному упрощению процедуры оптимизации, поэтому такое допущение приниматься не будет.
Ошибка в сигнальной компоненте, обусловленная самой системой, определяется, как и выше, из выражения
Е (() - X (f) — Y (t).
Преобразование Лапласа этой ошибки имеет вид
Fe (s) = Fx (s) - FY (s) = Fx (s) - Я (s) Fx (s) = Fx (s) [1 - Я (s)].
(9.33)
Следовательно, [1 — H (s) ] — передаточная функция, связывающая сигнальную ошибку с входным сигналом, а значение среднего квадрата этой ошибки равно
/оО
Ёг = (1/2я/) J Sx(s)[l-H(s)][l-H(—s)]ds. (9.34)
—/оо
Sx(s) 4 Sn(s)
Рис. 9.11. Обозначения спектральных плотностей сигналов н шумов на входе и выходе оптимальной системы.
Значение среднего квадрата шума М (t) на выходе системы определяется из выражения
/ОО
ЛР = (1/2я/) J SN(s)H (s)H(—s)ds. (9.35)
—/оо
В силу статистической независимости сигнала и шума суммарное значение среднего квадрата ошибки равно ?2 + М2 и определяется из соотношения
/со
^ + Ж2= (1/2л/) J {Sx(s)[l-H(s)][l-H(-s)] +
—/ СО
-f SN(s) H(s)H (— s)}ds. (9.36)
Теперь необходимо определить вид функции Я (s), минимизирующей выражение (9.36).
Если бы на систему не было наложено ограничение, связанное с ее обязательной каузальностью, процедура определения оптимального вида функции Я (s) была бы очень простой. Чтобы пока-
зать это, перегруппируем члены подынтегрального выражения (9.36) и получим
/оо
F + W - (1/2щ) J {[Sx (s) + S„ (s)] Я (s) Я (- s) -
—/со
- S* (s) Я (s) - Sx (s) Я (— s) + S* (s)} ds. (9.37)
Так как [5^ (s) -f SN (s) ] тоже спектральная плотность, она должна обладать свойством симметрии (четности) и, следовательно, может быть представлена в виде двух сомножителей, один из которых имеет полюсы и нули в левой полуплоскости и второй — аналогичные полюсы и нули в правой полуплоскости, т. е. можем записать
S* (s) + SN (s) = Fi (s) Ft (— s). (9.38)
Подставляя это выражение в (9.37) и вновь перегруппировывая члены подынтегрального выражения, получим
/со
F+ ЛР = (1/2я/) J \lFi(s)H(s)~Sx(s)!Ft(s))lFi(~s)H(~s)^
—/со
