Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
изображенной на рис. 9.9. Для некоторого произвольно выбранного t0 импульсная характеристика оптимального согласованного фильтра, также представленная на этом рисунке, имеет вид
Максимальное отношение сигнал/шум зависит от выбора значения t0, так как с его увеличением возрастает энергия сигнала. В данном случае имеем
¦ t.
Максимальное отношение сигнал/шум равно
(9.27)
[ s2 = 8 (to)/No =- Л2 T/N0. (9.28)
s (/) = Ae~bt и (t),
(9.29)
h(t) = A exp [—b (t0 — *)] и (t).
(9.30)
ls20(t„)/M*]max = Hto)/N0 =
to
j (A2 exp [—2bt) dt/N0 = (A2/2bN0) (1 - exp [—2bt0}). (9.31)
о
*0<Т
sOo-i)
А
h(i)
t0-T О t0 0 t0
t0-T
h(t)
t0>T
0 f0-T t0
Рис. 9.8. Импульсные характеристики оптимальных фильтров и сигналы на
их выходах.
Очевидно, что предельное значение этого отношения, соответствующее t0 —>- оо, равно A2/2bN0. Следовательно, выбор t0 определяется требуемой степенью приближения к этому предельному значению. При этом следует помнить, что увеличение t0 в общем случае приводит к тому, что оптимальная система оказывается более сложной и дорогостоящей.
В качестве третьего и последнего примера согласованных фильтров рассмотрим случай, когда сигналы имеют бесконечно большую энергию и неограниченную длительность. При этом большой практический интерес представляют сигналы в виде пакета периодически следующих радиоимпульсов, используемые,
в частности, в радиолокационных системах. На рис. 9.10 изображены сигнал в виде пакета N принимаемых радиоимпульсов, его зеркально отображенная и смещенная копия, а также импульсная
Рис. 9.9. Входной сигнал экспоненциальной формы и импульсная характеристика согласованного фильтра.
характеристика согласованного фильтра. Применительно к данному рисунку величина t0 состоит из целого числа периодов следования импульсов (t0 = NT), хотя это не является обязательным требованием. Так как энергия, приходящаяся на один импульс,
s(t)
Ч У (р h
А А
\7 Is '
(to —t) I
\7
h(t)
/у импугьсоо
N1——i/Vr
№
t -1
¦ N импульсов-
А Л.
ТГ17 '
Рис. 9.10. Характеристики согласованного фильтра для N радиоимпульсов.
— t
равна V* A2tp (рис. 9.10), отношение сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с пакетом N таких импульсов, равна
[sl{t,)lM*]ma = NA4Pl2N.. (9.32)
Ясно, что эта величина возрастает по мере увеличения числа N импульсов в пакете. Однако при больших N возникают затрудне-
ния в реализации таких согласованных фильтров, поэтому на практике обычно выбирают N < 10.
Хотя мы не будем рассматривать в деталях случай небелого шума, тем не менее следует заметить, что применение вышеприведенной методики получения структуры и анализа согласованного фильтра предполагает подключение к его входу устройства, преобразующего небелый шум в белый. Такое устройство называется обеляющим фильтром и имеет квадрат модуля комплексной частотной характеристики, определяемый как величина, обратная спектральной плотности шума. Естественно, обеляющий фильтр видоизменяет форму входного полезного сигнала, поэтому следующий за ним согласованный фильтр должен быть согласован с сигналом, форма которого отличается от формы исходного входного сигнала.
Иногда при определенных комбинациях входного полезного сигнала и небелого шума возникает интересное явление, известное под названием сингулярного обнаружения. Пусть, например, спектральная плотность небелого шума описывается выражением
SN (со) = 1/(со2 + 1).
Квадрат модуля комплексной частотной характеристики обеляющего фильтра, преобразующего шум с такой спектральной плотностью в белый шум, равен
| Я (СО) |2 - l/Sjf (со) = со2 l i = (/сй + j) (_/ш + 1}> т. е. сама комплексная частотная характеристика имеет вид
Н (со) -= /со + 1,
что соответствует импульсной характеристике обеляющего фильтра вида
h(t) = б (t) + 6 (t).
Следовательно, при любом входном полезном сигнале s (/) полезный сигнал на выходе этого фильтра равен s (t) -f s (t). Если входным сигналом является прямоугольный импульс, изображенный на рис. 9.7, а, то выходной сигнал будет содержать две 6-функции, так как этот фильтр реализует операцию дифференцирования. В силу того что б-функция заключает в себе бесконечную энергию, она всегда может быть обнаружена независимо от того, сколь малый уровень имеет входной сигнал. Этот же самый результат справедлив, когда огибающие входных сигналов имеют разрывы. Физически такие ситуации не могут возникать, а их появление при анализе систем просто свидетельствует о том, что для входного сигнала используется та или иная идеальная модель. Вследствие невозможности существования разрывов такого характера на практике не возникает и задача сингулярного обна
