Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Полезный сишал s„ (t) на выходе фильтра определяется выражением
,00 = J h(k)s(t-k)dk,
(9.17)
а значение среднего квадрата выходного шума М (t) при воздействии на его вход белого шума есть
М2^ N0 j Л2 (к) dk.
(9.18)
Следовательно, отношение сигпал/ш^м на выходе в момеш t0 определяется как
.s2 (Ц/М2
к (к) 6 (/„ — к) dk
N0\li*(k)dk. (9.19)
С целью максимизации этого отношения удобно применить неравенство Шварца—Буняковского. Это неравенство устанавливает тот факт, что для любых двух функций, скажем, f (t) и g (t), справедливо соотношение
Ь 12 ь ь
\f(t)g(t)dt <j P(t)dt\?{1)dt, (9.20)
„я J о а
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда / (t) = = kg (t), где k — величина, не зависящая от t, некоторая постоянная.
Применяя неравенство (9.20) к выражению (9.19), получим
WU UU I ии
\h?{k)dk Js2(/0 -k)dk N0jh2 (k) dk. (9.21)
$1 (it0)!M2 <
Отсюда ясно, что отношение сигнал/шум максимально, когда в (9.21) справедлив знак равенства:
(9.22)
так как интегралы от функции h2 (Я) в числителе и знаменателе взаимно сокращаются. Кроме того, чтобы был справедлив знак равенства, необходимо выполнение условия
h(k) = ks(t0-k) и (к). (9.23)
Так как к — просто постоянная, ие влияющая на отношение сигнал/шум, ее можно положить равной любому значению, и для
удобства пусть k =- 1. Появление сомножителя и (X) обусловлено необходимостью гарантировать каузальность системы. Отметим, что требуемая импульсная характеристика представляет собой копию полезного сигнала, смещенную в обратном времени (т. е. зеркально отраженную относительно оси ординат) и задержанную на время i0.
Выполняя в правой части равенства (9.22) замену переменной вида t -- t0 — К, получим выражение
* *о
[ s2 (t, - X) dX = J s2 (t) dt = e (Q, (9.24)
0 —oo
«ГО h(t) = s(T-i)
А А
f _-f ---
__________________f ------------—L,---------------------------—-t —
0 T t0-T 0 t0 0
а б в
Рис. 9.7. Согласованный фильтр для прямоуюльного импульса: а — полезный сигнал, б — зеркально отображенная и смещенная во времени копия полезного сигнала, в—импульсная характеристика оптимального фильтра для
to = Т.
откуда ясно, что оно просто определяет энергию полезного сигнала, заключенную в интервале времени вплоть до момента ta, для которого должна быть осуществлена максимизация отношения сигнал/шум. Эта энергия обозначена через г (t0). Итак, подведем краткий итог.
1. Отношение сигнал/шум в момент tB максимизируется фильтром, имеющим импульсную характеристику вида
h (t) = s {t0 — t) и (t). (9.25)
2. Максимальное отношение сигнал/шум равно
Wto)lM>]msyL = z{t0)lN0, (9.26)
где в (t0) — энергия сигнала s (t) на интервале времени вплоть до
момента t0. Фильтр, определенный соотношением (9.25), назы-
вается согласованным.
В качестве первого примера, поясняющего эту процедуру оптимизации, вновь рассмотрим случай, когда полезный сигнал представляет собой прямоугольный импульс, изображенный на рис. 9.7, а, и найдем импульсную характеристику h (t), максимизирующую отношение сигнал/шум в момент t0 — Т. На рис 9 7, 6
показана зеркально отображенная (относительно оси ординат) и смещенная на произвольное время t0 копия полезного сигнала. Получаемая в результате импульсная характеристика для ta — = Т, изображенная на рис. 9.7, в, описывается выражением
Этот результат полезно сравнить с соотношением (9.9).
Чтобы проследить эффект изменения t0 на характеристики оптимального фильтра, приведем графики для зеркально отображенной и смещенной копии полезного сигнала s (t0 — t), импульсной характеристики фильтра h (t) и выходного полезного сигнала s0 (t) в случае воздействия на его вход одного и того же полезного сигнала s (t), изображенного на рис. 9.7, а. На графиках, приведенных на рис. 9.8, видно, что при ta<^ Т отношение сигнал/шум уменьшается вследствие того, что к моменту t0 используется не вся энергия импульса. С другой стороны, увеличение t0 до ta > Т не приводит к дальнейшему росту этого отношения, так как к моменту t = Т мы располагаем уже всей энергией импульса. Ясно также, что сигнал на выходе согласованного фильтра не повторяет по форме входной сигнал* Таким образом, согласованный фильтр не подходит в ситуациях, когда необходимо воспроизвести с минимальными искажениями полезного сигнала, принимаемого на фоне шума.
В качестве второго примера согласованных фильтров представляет интерес рассмотрение сигнала, имеющего конечную энергию, но бесконечную длительность. Такой сигнал может описываться временной функцией
