Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
квадрата сигнала. Для меньших значений среднего квадрата сигнала оптимальная полоса по-прежнему остается равной нулю, а минимальное значение среднего квадрата ошибки — равным значению среднего квадрата сигнала.
Приведенный пример нереализуем на практике, так как должен использоваться идеальный фильтр нижних частот, который не может быть построен на основе конечного числа дискретных элементов. Этот фильтр был проанализирован скорее с целью пояснения возможностей анализа таких систем, нежели в интересах их практического применения. Однако для реального фильтра, у которого передний и задний фронты графика квадрата модуля комплексной частотной характеристики оказываются более крутыми, нежели крутизна ветвей графика спектральной плотности сигнала, в значительной степени получаются те же результаты, что и для идеального фильтра нижних частот. Таким образом, этот простой анализ может быть использован для определения оптимальной полосы пропускания реального фильтра нижних частот с крутым фронтом амплитудно-частотной характеристики (с резкой отсечкой). Однако отсюда не должен следовать вывод, что этот упрощенный подход результативен для любого реального фильтра. Например, для простой /?С-цепи, изображенной, в частности, на рис. 9.1, б, оптимальная полоса пропускания фильтра в значительной степени отличается от величины, определяемой из выражения (9.15). Эти качественные выводы поясняются в упражнении 9.4.2.
В каждом из вышеприведенных примеров в процессе реализации выбранного критерия оптимальности осуществлялся выбор значений только одного параметра системы. Процедура выбора значений двух и более параметров оказывается аналогичной, а именно максимизируемая или минимизируемая величина (в зависимости от выбранного критерия) дифференцируется по каждому из параметров, для которых должны быть определены оптимальные значения, а соответствующие производные приравниваются к нулю. В результате получается система уравнений, решения которой представляют собой оптимальные значения этих параметров. Однако на практике процедура решения такой системы уравнений реализуема только в редких случаях в силу того, что уравнения этой системы оказываются нелинейными и затрудняют получение окончательного результата в аналитической форме. При этом часто могут быть использованы численные методы решения на ЭВМ, однако при этом остается много неразрешенных вопросов, связанных, в частности, с единственностью получаемых решений.
Упражнение 9.4.1. На вход интегратора со сбросом, импульсная характеристика которого равна h (t) = (1/7’) [и (t) — и (t— Т)], воздействует аддитивная смесь прямоугольного импульса, описываемого выражением s (t) = 2[ы (/) —
— и (t — 1) J, и белого шума со спектральной плотностью, равной 2 В2/Гц. Ставится задача максимизации отношения сигиал/шум на выходе этого интегратора со сбросом.
а) Определите значение Т, максимизирующее отношение сигнал/шум на выходе интегратора.
б) Определите максимальное отношение сигнал/шум на выходе интегратора.
в) При условии, что интервал интегрирования Т изменился в любую сторону (в сторону уменьшения или в сторону увеличения) на 10 % относительно оптимального значения Т, определите степень уменьшения (в процентах) отношения сигнал/шум на выходе интегратора.
Ответы: 1, 2, 9,09, 10
Упражнение 9.4.2. Аддитивная смесь сигнала X (/) со спектральной плотностью вида Sx (м) = 40/(со2 + 2,25) и белою шума, спектральная плотность которого равна 1 В2/Гц, воздействует на вход /?С-фильтра нижних частот, имеющего комплексную частотную характеристику И (ю) = 6/(/со + Ь),
а) Определите значение параметра Ь, минимизирующее средний квадрат ошибки (разности) между входным полезным и выходным суммарным сигналами.
б) Определите минимальное значение среднего квадрата этой ошибки.
в) Определите приближенное значение среднего квадрата ошибки при Ь -*¦ 0.
Ответы: 4,82, 5,57, 13,33.
9.5. Оптимальные системы, максимизирующие отношение сигнал/шум
В данном разделе будут рассмотрены системы, максимизирующие отношение сигнал/шум в определенный момент времени, в случае, когда форма сигнала известна. Предполагается, что структура системы не задана, а единственное ограничение состоит в том, что система должна быть каузальной и линейной.
Рис. 9.6. Обозначения сигналов и шумов на входе и выходе оптимального фильтра.
Пояснения к вводимым обозначениям даются на рис. 9.6. Сигнал s (t) полагается детерминированным с известными параметрами (возможно, за исключением амплитуды и времени его прихода). Предполагается, что N (t) — белый шум со спектральной плотностью Na. Хотя случай воздействия небелого шума здесь не рассматривается (за исключением кратких комментариев в конце данного раздела), для него может быть использована та же самая общая методика. Отношение сигнал/шум на выходе определяется как So (t0)/M\ где t0 — момент времени, который должен быть выбран. Ставится задача определить импульсную характеристику h (t) оптимальной системы, максимизирующей выходное отношение сигнал/шум.
