Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
И наконец, последний этап решения задачи оптимизации, который зачастую не принимается во внимание, заключается в анализе чувствительности отношения сигнал/шум к выбору параметра Ь (в отечественной литературе часто используется термин
«анализ критичности к изменению параметра». — Перев.). Проще всего реализовать этот этап, выразив постоянную пропорциональности в (9.4) как функцию параметра Ь. График этой постоянной
К = 2 (1 — ехр [— ЬТ])2/ЬТ (9.10)
представлен на рис. 9.3. Видно, что отношение сигнал/шум на выходе системы изменяется незначительно при изменении b в окрестности точки, соответствующей значению параметра ЬТ,
Рис. 9.3. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе системы от параметра ЬТ.
при котором имеет место максимум этого отношения. Таким образом, выбор постоянной времени оптимального фильтра не столь важен в части ее совпадения с действительно оптимальным значением.
Тот факт, что анализируемая система не очень чувствительна (критична) к выбору ее параметра, не должен толковаться как всегда имеющий место. Например, если бы сигнал представлял собой импульс с высокочастотным синусоидальным заполнением, а система — резонансную цепь, то характеристики этой системы в значительной степени зависели бы от резонансной частоты, а значит, и от индуктивности и емкости ее элементов.
В качестве второго примера использования этого метода оптимизации рассмотрим воздействие случайного сигнала и будем использовать критерий минимума среднего квадрата ошибки. Анализируемой системой будет идеальный фильтр нижних частот, для которого необходимо определить оптимальную ширину полосы пропускания.
Предположим, что на вход этого фильтра воздействует случайный сигнал X (t), спектральная плотность которого
Sx (®) = Ла/[(оа + (2я/„)г]. (9.11)
Этот сигнал принимается на фоне белого шума N (t) со спектральной плотностью N0. На рис. 9.4 иллюстрируются спектральные плотности сигнала и шума, а также квадрат модуля комплексной частотной характеристики идеального фильтра нижних частот.
Так как линейный фильтр представляет собой фильтр нижних частот, ошибка Е (t) = X (t) — Y (t) воспроизведения сиг-
Рис. 9.4. Спектральные плотности сигнала и шума; квадрат модуля комплексной частотной характеристики идеального фильтра нижних частот.
нальной компоненты (т. е. ошибка воспроизведения X (t) на выходе в отсутствие шума на входе) целиком обусловлена составляющими спектральной плотности сигнала, находящимися вне пределов полосы пропускания фильтра. Значение среднего квадрата этой ошибки может быть определено интегрированием спектральной плотности случайного сигнала в пределах, превышающих |2яВ|. В силу симметрии спектральной плотности достаточно вычислить соответствующий интеграл в одном полуинтервале с последующим удвоением полученного результата. Тогда получим
оо
Р = (2/2я) f {Ла/[соа + (2я/а)*]} dffl = (2Л*/4я* fa) х
2Я В
X [я/2 — arctg{В!fa)). (9.12)
Шум М (t) на выходе фильтра имеет значение среднего квадрата
2я в
Ш1 = (1/2я) J N0 da = 2BN0. (9.13)
-2 яВ
Суммарное значение среднего квадрата ошибки в силу независимости сигнала и шума равно сумме компонент, определяемых выражениями (9.12) и (9.13), а именно
Р + Др = (2/1*/4я* /„) [я/2 - arctg (B/fa)} + 2BN0. (9. И)
Минимизация этой суммы реализуется соответствующим выбором параметра В, что означает дифференцирование (9.14) по аргументу В и приравнивание результата нулю:
[(2Л2/4л2 fa) (-1//„)]/[1 + №)21 + 2АГ. = О,
откуда получаем оптимальное значение параметра В
В = [(А2/4я2 N0) — (9.15)
Подставляя это значение параметра В в выражение (9.14), получим минимальное значение среднего квадрата ошибки.
"х
Рис. 9.5. Оптимальная полоса пропускания фильтра иижних частот.
Форма записи вида (9.15) не столь очевидна в ее интерпретации. Поэтому представим несколько более простую форму записи с учетом того, что средний квадрат сигнала равен X2 = Аг/4л/в, а значение среднего квадрата шума, содержащегося в пределах эквивалентной шумовой полосы сигнала (определяется по аналогии с эквивалентной шумовой полосой системы — см. разд. 8.10), равно N\ = nfaNo, так как эквивалентная шумовая полоса сигнала равна (п/2)/а. Тогда соотношение (9.15) можно переписать в виде
В = /а[(хЩ)-Ц,Х12 Х*>щ. (9.16)
График зависимости B/fa от Х'г/Ы'‘х изображен на рис. 9.5.
Анализ рис. 9.5 позволяет сделать интересный вывод, заключающийся в том, что оптимальная полоса пропускания фильтра нижних частот равна нулю при равенстве среднего квадрата сигнала на входе фильтра среднему квадрату шума в пределах эквивалентной шумовой полосы сигнала. При этом на выходе фильтра отсутствуют как сигнал, так и шум. Таким образом, минимальное значение среднего квадрата ошибки равно значению среднего
