Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
В частности, для магнитного диполя (/1=1) получаем До В а
Vм = - sin0sin*. (3.331)
8 nr 2
Разложение в ряд (3.330) можно представить в виде замкнутой формулы [
121]. Используем разложение
1 *00 П
= - Z - Р (cos 0). (3.332)
(a2 -iarcosB+r2)1!2 r п = 0 rn "
Если продифференцировать обе части последнего уравнения по cos0, а затем
проинтегрировать по а в пределах от 0 до а, то получается следу-
юшее выражение:
оо П
а
х -
П = 1 (л + 1) г
/1+1
л! (с OS0) = 1
in в
(а2 - 2a/-cos0 + г2 ) 1/2
+ 1
(3.333)
Подставляя это выражение в (3.330) и учитывая, что для скалярного
магнитного потенциала компоненты диполя Dy получается аналогичное
выражение, в которое вместо sin ф входит -cos ф, получаем окончательно
"м -
4 7Г
До Dx sin ^ - Dv cos^
a cos 0 - г
+ 1 (
(а2 - 2a/-cos0 + /-2) 1/2 J
(3.334)
Важной особенностью этого уравнения является то, что оно не содержит
радиуса шара; следовательно, внешнее магнитное поле не изменяется при
изменении радиуса шара (которое допустимо в пределах а < R < г). При
перемещении диполя в центр шара (а = 0) выражение (3.334) обращается в
нуль; это естественно, поскольку все компоненты диполя становятся
радиальными.
Дифференцированием уравнения (3.334) нетрудно получить выражения для
компонент магнитной индукции в локальной системе координат:
В г =
во =
А< о 4 7Г
(Dx sin ф - Dy cos ф) a sin 0
(а2 - 2 а л со s 0 + г2) 312
Но sin Ф " Dv cos Ф
4 7Г
ar(a cos 0 - г)
5S0
(а2 - 2a/"cos0 + г2) 3^2 cos 0
sin20 (а2 - 2arcos0 + г2) 1 ^2 д0 со s ф + sin ф 4* ar sin 2
0
sin2 0
>S0
(а2 - 2ar cos0 + г2) 1/2
+ 1
(3.335)
Если увеличивать радиус шара, сохраняя неизменным взаимное положение
диполя и точки наблюдения, то кривизна поверхности раздела проводника и
диэлектрика будет оказывать все меньшее влияние на внешние электрическое
и магнитное поля. Распределения электрическо-
253
го потенциала и магнитной индукции будут приближаться к распределениям
для однородного проводящего полупространства, отделенного от
диэлектрической среды бесконечной плоскостью. Чтобы получить необходимые
выражения для этого случая, сначала преобразуем (3.325) и (3.334), введя
новые геометрические параметры - расстояние Rx между диполем и точкой
наблюдения и угол вх между осью z и прямой, соединяющей диполь с точкой
наблюдения. Тогда
47гоЯ:
Dx со si// + Dy sin Ip
sin
2 s in 01 +
R i 1
Ri \
-- )COS01
ra I
Rl 2 n
sin 0.- cos0i
rl rS
2cos 0, +
У I ~r\ " ' R i " \
1--------3 sin 0j - - cos0, J
rl 'S
, (3.336)
, " , 1 - sin2 0i - cos0
д0 (Dx sinl// - Dy со si//) r
4 7Г
j R\ " '
j V 1 Г Sin 0J
R i sin 0i
1 -
1 .2
01 -------- COS01
(3.337)
Найдем предельные значения этих величин при стремлении радиуса шара к
бесконечности (rs -*¦ г -*°°), сохраняя неизменными величины R1 и 0,; в
результате получим для электрического потенциала на плоской поверхности
проводящего полупространства и скалярного магнитного потенциала во всей
внешней диэлектрической области (рис. 3.14):
2-naR',
(D sin01 cosф +Dy sin0! sini^ +?)zcos0!), (3.338)
P =
4 7Г
(Dx sin ip - Dy cos i//) (1 - cos0j) R i sin0!
(3.339)
254
Рис. 3.14. Электрическое и магнитное поля, порождаемые токовым диполем на
поверхности проводящего полупространства. Диполь расположен на глубине г
р под поверхностью проводника и ориентирован тангенциально к этой
поверхности по оси х. Жирными сплошными кривыми изображены эквииндук-
ционные линии для компоненты магнитной индукции Bz, тонкими сплошными
кривыми - для
трического поля; плюсами и минусами показаны соответствующие экстремумы
В декартовой системе координат xyz с началом в точке расположения диполя
эти уравнения имеют вид
Dxx + Dyy + Dzz 27Г0(хг + у2 + z2) 3/2 м _ До Dxy - Dyx
47Г
2 2 X + у
1 -
(х2 +у2 +Z2)1/2
(3.340)
(3.341)
Из (3.341) в соответствии с (3.91) можно получить выражения для компонент
магнитной индукции в декартовой системе координат. Ниже они приведены для
компоненты диполя Dx (для компоненты Dy аналогичные выражения получаются
путем поворота системы координат на угол 7г/2 относительно оси z) ;
Вх =
ДоДХ
4тг
Д0ДХ 4 7Г
ху
(X2 +у2)2
(х2+у2)2
2 -
[х2 + у2 + 2 (х2 +y2+z2)] (х2 +у2 +z2)3'2
-х2 + у2 -
z [у2 (х2 + у2)-(х2-у2) (x2+y2 + z2)] (х2 + у2 + Z2 ) З/2 Mo
Dx_____________у_______
4 7Г
(X2 + У2 + 21)
2.3/2
(3.342)
255
Сравнение (3.338) и (3.340) с (3.176) показывает, между прочим, что на
плоской границе однородного проводника, простирающегося на трехмерное
полупространство, потенциал всегда вдвое больше, чем на этой же плоскости
в однородном неограниченном проводнике; сравнение (3.342) с (3.230)
показывает, что компонента магнитной индукции, нормальная к плоской
границе проводника, совпадает с компонентой магнитной индукции в этом же
направлении, если диполь находится в однородном бесконечно протяженном
проводнике, т.е. наличие границы между проводником и диэлектриком на нее
не влияет. Сопоставляя (3.340) и (3.342), видим, что на плоской
