Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
мультипольному разложению электрического поля исходного генератора [187].
Эквивалентный генератор представляет собой последовательность
мультиполей, расположенных в начале координат, и, по определению,
порождает вне сферы минимального радиуса с центром в начале координат,
охватывающей исходный генератор, та-коЪ же электрическое поле, как и
исходный генератор; кроме того, он порождает магнитное поле, индукция
которого имеет тангенциальное направление и полностью; определяется
параметрами мультиполей Апт. В"т (электрическими мультипольными
компонентами). Поэтому составляющая Bi должна быть обусловлена
генератором, который представляется как разность между исходным
генератором и мульти-польным эквивалентным генератором и, по определению,
не создает вне вышеуказанной сферы электрического поля и электрических
токов. Следоватедьно, поле Bi вне области генератора является
безвихревым, а его радиальная компонента совпадает с радиальной
компонентой исходного поля В. Поле Bi может быть описано скалярным
213
магнитным потенциалом ум, который может быть представлен мульти-польным
разложением, вполне аналогичным мультипольному разложению для
электрического поля (3.173):
и °° "
i/jM = -- 2 2 Иит г-"-1 Р^1 (cosв) cosтф +
п=0т = 0
+ В(tm)т r~n~l P(tm)(cos6) sin тф], (3.243)
где А(tm)т , В(tm)т - мультипольные компоненты безвихревого магнит-
ного поля, или просто магнитные мультипольные компоненты. В соответствии
с (3.91) радиальная компонента магнитной индукции безвихревого (и
суммарного) магнитного поля выражается как проекция отрицательного
градиента потенциала на ось 1Г:
д м п °° п
Br=-~J- = ~2- 2 2 (п+1)[А"тг-п-*Рпт(совв)совтф +
0lr 47Г п = 0т = 0
+ Вптг~П~2Р"т(совв) вттф]. (3.244)
Согласно (3.107) компоненты магнитной индукции В в декартовой системе
координат xyz выражаются как
Вх(г) = - / 4 7Г
Ву{ Г)= - J
47Г v
ъ
bz0
Ъх0
1
R
1
R
J*
дУо
-ч*
3z0
dV,
dV,
(3.245)
Bz (0 = - J
47Г
-X -I - I ~Jy - Эуо \ Л I dx0
dF.
Учитывая (3.239), получаем для радиальной компоненты
Вг (г) =
Мо 4 Я
sin в cos ф f
V
Э
dz0
Э
Эуо
dF +
214
sin 0 sin ф J
qos в J
Jzir f1 ~Jx* T~
dx0 \ R j oz0
3 I 1
d F +
dye
R
-j:
3
bx0
dV
(3.246)
Разложим в этом выражении функцию 1/Л в ряд сферических функций (3.179).
Тогда ее производная по координате х0 будет выражаться как
Эх0 \ Л 3
Эх0
- = 2
п
2
п = 0 т= О
(п-т)! (и + т) !
г-и-1 ^(cos0).
[г"Л(tm) (cos0o) cosw^o] cost# +
Эх0
[г" P"m(cos 0o)sin m^o] sinm\b
Выражения для производных по у0 и z0 аналогичны. Подставляя выражения для
производных в (3.246) и учитывая (3.182), получим разложение радиальной
компоненты магнитной индукции в ряд сферических функций, где каждый член
порядка п соответствует члену порядка п +1 в разложении функции 1/Л.
Вычислим члены разложения Вг, соответствующие значениям п = 1, 2 и 3 в
разложении функции 1/Л (для выполнения необходимых, преобразований
воспользуемся рекуррентными соотношениями для сферических функций,
приведенными, например, в [110]).
При п = 1 получаем Вг = 0. При п = 2
Вг
М0
47Гг1
/ (-/х>0 +/y*JC0)dK]JP, (COS0) + V
Мс
47ГГ
Мо
47ГГ3
/( Jy zo +Л Уо) dV
. V
5 (~^z хо + /х 2 о ) d V
IV
Р\ (COS0) COS ф +
Р\ (cos0)sin ф.
(3.247)
Сопоставляя это выражение с рядом (3.244), находим, что оно должно
совпадать с членом ряда порядка и = 1, причем магнитные мультипольные
компоненты 1-го порядка, или магнитные дипольные компо-
215
ненты выражаются как
= - J (-Jx*yo+JyXo)dV,
2 V
= - / (-'2 о + Л* У о) d F,
*ы = -J (Ч* *о +Sx*z0) dV. 2 V
$.248)
При п = 3
Вг =
Мр
47ГГ4
Мо
47Гг
J 3 (-j? у о z0 + /^ х0 z0) d F Г
J [-¦1ххоУо +Jy (хо ~ zo^ +
Mo
Pi (cos 0) +
ЧЧо^о] dF [ Fj (cos0)cosi// + j J [-•/* Oo ~
47!Y (. Г
- zj) yjy x0 y0 - J?x0z0] dF[ P\ (cos0)sin ф + Mo
47ГГ4
I (- - Jxy0z0- -JyX0Z0 + V \ 2 2
+ J?x0y0) dV
(cos 0) cos 2^ +
Mo \ j_ 4тгг4 | [y 2
jx X о Z о -
" Jy Уо*о - Jz (*o -Уо)] dv\p 1 (COS0) sin2ф.
(3.249)
Сопоставляя это выражение с рядом (3.244), находим, что оно должно
совпадать с членом ряда порядка п = 2, причем магнитные мультипольные
компоненты 2-го порядка, или магнитные квадрупольные компоненты,
выражаются как
•^2 0 = / ^х Уо 2о ¦*" Jy хо zo) d F,
У
^21 = - / [4*Wo +Jy (*о~ zl) + Jz*y0z0]dV,
Bi i - J [ - Jx (>'o Zq) у Jy x0y0- Jxx020]dV,
(3.250)
216
А(tm)2 - - J (~Jx Уо z о Jy xо Zq + 2Jz XqJKo ) d V,
6 v
Bi2 ~ / \Jx xo zo ~ Jy Уо zo ~ Jz (*o " ) ] d V.
6 у
Уравнения (3.248) и (3.250) ясно показывают, что магнитные мультипольные
компоненты, как и электрические, являются интегральными характеристиками
генератора J*. Однако сравнение этих выражений с (3.184) и (3.185)
выявляет существенные различия. В частности, одноименные электрические и
магнитные мультипольные члены определяются интегралами, в которых
подынтегральные выражения содержат координаты в степенях, различающихся
на единицу; в этом отношении магнитные дипольные компоненты соответствуют
электрическим квад-рупольным, магнитные квадрупольные - электрическим
