Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
использованных при его построении; для мультиполя и-го порядка это число
равно 2й.
В процессе построения мультиполей при увеличении порядка мультиполя на 1
к определяющим его параметрам добавляются две независимые величины -
углы, задающие направление сближения мультиполей предыдущего порядка
(направляющие косинусы вектора сближения связаны соотношением a2ni +
(32ni + y2ni = 1, поэтому независимыми являются лишь два из них).
Следовательно, общее число независимых величин, определяющих мультиполь
л-го порядка, равно 2 л + 1 и совпадает с числом коэффициентов члена
порядка п в разложении скалярного потенциала по сферическим функциям
(3.173). Как (3.174), так и (3.200) можно представить в виде суммы
произведений постоянных коэффициентов, не зависящих от координат точки
наблюдения потенциала, и сферических функций, зависящих от этих
координат. Сопоставляя зти выражения почленно, получим соотношения между
характеристиками интенсивности и ориентации мультиполей Мп, a"j, |3у с
одной стороны, и мультипольными компонентами Апт, Впт. с ДРУГОЙ стороны;
эти соотношения позволяют рассматривать компоненты Апт. &пт как параметры
соответствующих мультиполей. В частности, для мультиполей до 2-го порядка
- униполя (и = 0), диполя (и = 1) и квадруполя (п = 2) можно записать
Mj = / М{ _ i dj.
(3.201)
Aqq - M(,;
(3.202)
196
Аю - М! у ц , Alt - Мг а ц, Вц -Мх @ ц; М2
^20 = -- (- а21 "22 ~ @21 @2 2 + 2721722),
(3.203)
A , М2
- j ^"21 722 +7il И22)> ^2 1 = -((32 1 722 4 721 i322), '
М 2 Л*2
¦^2 2 = ((r)2 1 И2 2 _ $2 1 $22)' ^22 = ^Va2 1 ^22 "*"$2 1 И2 2 )
' -
4 4 (3.204)
Таким образом, униполь характеризуется одной скалярной величиной, а
мультиполи более высоких порядков - несколькими скалярными величинами,
которые можно сгруппировать в тензоры. В частности, диполь можно
представить в виде вектора, квадруполь - в виде тензора второго ранга с
пятью независимыми элементами и т.д. [3, 74, 203].
Электрические поля мультиполей имеют характерную форму распределения
потенциала в пространстве, зависящую от порядка мультиполя и от
конкретного значения его компонент. При увеличении расстояния точки
наблюдения от мультиполя г потенциал изменяется пропорционально величине
1 /ги + 1 и, следовательно, убывает тем быстрее, чем выше порядок
мультиполя.
Поле униполя обладает сферической симметрией относительно начала
координат, его потенциал на поверхности сферы с центром в начале
координат постоянен и имеет такой же знак, как и момент униполя.
Мультиполи более высоких порядков создают поля, имеющие на поверхности
указанной сферы положительные и отрицательные экстремумы потенциала,
число которых возрастает с увеличением порядка мультиполя. На рис. 3.4
для иллюстрации приведены эквипотенциальные карты полей диполя,
квадруполя й октуполя на сферической поверхности. Представлены
эквипотенциальные карты для мультиполей, имеющих только одну ненулевую
компоненту, которая указана у соответствующей карты. Верхняя и нижняя
границы карты соответствуют полюсам сферы (пересечению ее соответственно
с полуосями +z и -z декартовой системы координат), левая и правая границы
- нулевому меридиану (пересечению ее с плоскостьюxOz).
Чтобы получить представление о том, насколько полно мультиполь-ные
компоненты Апт, Впт отражают конфигурацию генератора, точнее,
распределения источников тока, воспользуемся разложением электрического
потенциала еще одного типа. Разложим функцию 1 /R в ряд Тейлора
относительно начала координат и заменим дифференцирование по координатам
точки области генератора х0, у0, z0 дифферен-
197
Рис. 3.4. Эквипотенциальные карты.электрических полей мультиполей 1-3-го
порядков на сферической поверхности с центром в начале координат,
спроектированной на прямоугольный участок плоскости (ненулевые компоненты
муль-типолей указаны над соответствующими картами). Верхняя и нижняя
границы карты соответствуют полюсам сферы, левая н правая границы -
нулевому меридиану. Плюсы - точки максимума, минусы - точки минимума
потенциала; сплошные линии - положительные эквипотенциали, штриховые -
отрицательные экви-потенциали, пунктирные - нулевые эквипотенциали
цированием по координатам точки наблюдения потенциала х, у, z; в
результате получим выражение
00 п П - 1 п
1 Г-IV
1 - v v V V 1J
= 2 2 2 й и = О /= 0 *=0 П*!(И-/-*)!
-гт1 - 1' (3-205)
Эх' Эу* Ъгп~1~к \ '
где п, I, к - неотрицательные целые числа, подчиненные условию п > > I +
к для каждого члена разложения. Подставляя последнее выражение в (3.101),
приходим к следующему разложению потенциала в точке наблюдения:
,..!_г z v *-"- -
4ТГа й = 0 ,= 0 к=0 /!*!("-/-*)!
спк1 , - Э" , ь ( - | . (3-206)
Эх Ъу Ъгп~1~к \ г
где
Cnkl = Г ПхоУо *Г#~* iV. (3.207)
Разложение (3.206) иногда так же, как и разложение по сферическим
функциям, называют мультипольным разложением потенциала, однако оно
обладает некоторыми важными особенностями. Число независимых
коэффициентов Cnki для члена разложения и-го порядка равно (и+1) (и+
