Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
объемные интегралы от этого распределения с некоторыми весовыми
коэффициентами и могут быть названы интегральными характеристиками
генератора или его источников. Однако описание источников при помощи
мультипольных компонент является ограниченным в том смысле, что оно
характеризует лишь свойства распределения источников, которые
обусловливают существование скалярного потенциала вне области источников.
Отметим еще следующий важный факт: уравнение (3.183) свидетельствует о
том, что если генератор задан в виде распределения плотности стороннего
тока в ог-
193
раниченной области пространства, то унипольный член мультипольного
разложения (т.е. суммарный ток источников) равен нулю. Именно зто условие
характерно для задач биоэлектродинамики.
Рассмотрим теперь такие частные конфигурации генератора, у которых
источники тока являются поверхностно распределенными или точечными.
Конкретно, пусть источники тока представляют собой простой или двойной
слой. Тогда, действуя точно таким же образом, как и при выводе уравнений
(3.180) и (3.181), получим из (3.114) и (3.1 ^соответственно следующие
выражения для мультипольных компонент простого слоя источников тока с
поверхностной плотностью источников Ws:
Апт
Впт
(и - т) ! (п + т)!
f W
S
s го -С (cos 0О )
cos m | sin W2l//0
d S (3.189)
и для мультипольных компонент двойного слоя источников тока с
поверхностной плотностью дипольного момента D$:
Апт
Впт
-е.
(п - т)!
(п + т)\ 's
\ Ds grad
г%Рпт(сos в о)
cos т ф0 sin тф0
• dS,
(3.190)
где S - поверхность источника тока (простого или двойного слоя) и d S -
векторная элементарная площадь этой поверхности.
Выражение для мультипольных компонент точечного унипольного источника
тока можно получить из (3.181), представляя объемно распределенный
источник в виде пространственной дельта-функции, а выражение для
мультипольных компонент точечного дипольного источника тока - в
результате обычного предельного перехода при бесконечном сближении двух
унипольных источников. В частности, для униполя с током /*
Апт ) Впт )
(и -т)1
~т
lY0Pnm( cos 00 )
COS ТП фд sin тф0
(и + т)!
и для диполя с вектором дипольного момента D
Апт
Впт
I-
)
(и - т) ! (и + т) !
D • grad
ro рп (cos 0О )
cos тфо sin тф0
(3.191)
,(3.192)
где г0, в0, фо - сферические координаты точечного источника (униполя или
диполя). Приведем подробные выражения для мультипольных компонент этих
точечных источников до 2-го порядка. Для 194
униполя
Лоо = /*; (3.193)
Аю = / zo> Aji =1*х0, B\i - I Уо', (3.194)
Аго = + 2z\),
2
Ai i = I*x0z0, Д21 = 1*Уого> ' (3.195)
^22 = 1 (*o-^'o)" ^22 = -I*X0y0-
4 2
Для диполя
Лоо = 0; (3.196)
Л) 0 = Дг , Л21 = DX, В a =Dy\ (3.197)
Л20 =~Dxx0 - Dy уо + 2DZ z0,
Аг i = Dx Zo + Dz Xo> Bz 1 = Dy z0 + Dz Уо> * (3.198)
Л22 = -(DxXo~Dyyo), B22 = -(PxУо + Dy x0).^
Потенциал электрического поля вне сферы с центром в начале координат,
полностью охватывающей источники (в области сходимости мультипольного
разложения), можно рассматривать как сумму потенциалов неограниченного
числа идеализированных источников тока точечных мультиполей,
расположенных в начале координат, и формально выразить как
(-1)'
47та п = 0 п\
Мп
dlnl Э/ц2 • • • д!
пп
1
(3.199)
где Мп - модуль (абсолютная величина) момента мультиполя и-го Э
порядка и
3 3 Э
= а"* Т + Р"I Г" + Уп> Т _ оператор дифферен-
olni ох о у ог
цирования по напрвлению 1т-, которое определяется направляющими
косинусами ani, (ini, yni по отношению к осям х, у, z декартовой системы
координат соответственно.
Потенциал, создаваемый мультиполем п-то порядка в однородном
неограниченном проводнике с удельной электрической проводимостью о
Мп (-1)" Э" I 1
4тто
п!
din i Ъ1пг • ¦ ¦ dlnn
(3.200)
195
совпадает с членом л-го порядка мультипольного разложения электрического
потенциала источника произвольной структуры, находящегося в .этой же
среде (3.174). Выражение (3.200) фактически описывает последовательность
построения мультиполя порядка п из мультиполей предшествующих порядков /
< п. Каждый мультиполь порядка i образуется в результате предельного
перехода при сближении по направлению 1ш- двух мультиполей предыдущего
порядка г-1, имеющих равные по абсолютной величине М,- _ j, но
противоположные по знаку моменты, причем величина момента стремится к
бесконечности, расстояние между мультиполями dj - к нулю, а произведение
абсолютной величины момента на расстояние остается постоянным и
определяет абсолютную величину момента мультиполя i'-го порядка:
Построение системы электрических мультиполей начинают с мультиполя
нулевого порядка - точечного источника тока, или униполя. Момент униполя
М0 принимается равным полному току источника. В результате предельного
перехода из двух униполей получается мультиполь первого порядка - диполь,
из двух диполей получается мультиполь второго порядка - квадруполь, из
двух квадруполей - окту-поль, из двух октуполей - гексадекаполь и т.д.
Название каждого мультиполя отражает общее число исходных униполей,
