Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентные двойные слои источников для электрического поля этого
же первичного
генератора, а именно с мощностью -(oi - о2)<р Для внутренних поверхностей
раздела и -о для наружной поверхности объекта, окруженного диэлектриком.
Если допустимо пренебрежение внутренней неоднородностью объекта, то
выражение для магнитной индукции (3.165) соответствующим образом
упрощается:
В (г) = / J*x grad,. ( - ) dV + -- # o<?grad/-0
47Г у \ R j 4ir s
Заметим, что при помощи (3.160) и (3.166) можно по измерениям
электрического потенциала на поверхности однородного ограниченного
проводника и магнитной индукции в любой точке наблюдения вне проводника
определить электрический потенциал и магнитную индукцию, которые создавал
бы тот же самый первичный генератор при условии, что вся неограниченная
среда является однородным проводником с такой же удельной электрической
проводимостью, как и исследуемый объект.с первичным генератором внутри
него:
4>h (О = ~~ $ <Pgrad, ( - I -dS, (3.167)
4 Я 5 \ R I
В й(г) = В (г) - ~ ф otfi gradro | i- | xdS, (3.168)
где электрический потенциал и магнитная индукция в однородной
неограниченной среде отмечены индексом А, а соответствующие реально
измеряемые величины не имеют индексов.
Наконец, если в уравнение теоремы Грина (3.151) подставим вместо
электрического потенциала скалярный магнитный потенциал и учтем, что вся
неограниченная среда однородна в отношении магнитной прони-
R
х dS.
(3.166)
цаё мости, фиктивные магнитные источники находятся только^в проводящей
области, ограниченной поверхностью S, а точка наблюдения - вне этой
области, то применение (3.151) к области проводника дает после
преобразований, аналогичных вышеописанным,
т.е. уравнение, вполне аналогичное уравнению для электрического
потенциала (3.156).
Следует отметить, что интегральные соотношения для электромагнитного поля
стационарных токов в кусочно-однородной среде можно представить в иной
форме, выражая влияние неоднородности не через потенциал, а через
нормальную компоненту электрической напряженности на поверхностях раздела
(причем эквивалентные вторичные источники будут представляться в виде
простых, а не двойных слоев) [114, 115]. Такая трактовка неудобна тем,
что при ее использовании для решения ряда электродинамических задач нужно
знать электрическую напряженность у поверхностей раздела, которую трудно
измерить. Здесь этот подход не рассматривается.
3.2. Скалярное мульшпольное разложение и совместный анализ
биоэлектрического и биомагнитного полей
Мультипольное разложение электрического потенциала. Мультиполь-ное
разложение скалярного потенциала будет рассмотрено сначала в применении к
электрическому полю, а затем - к безвихревому магнитному полю. Излагая
эти вопросы, мы будем следовать в основном работам [2, 32, 44, 50, 110,
112, 133, 152-154]. Дополнительные сведения по теории мультиполей
содержатся в [203, 204].
Метод- мультипольного разложения электрического поля основан на принципе
единства трех определений мультипольных компонент -они одновременно
являются, во-первых, коэффициентами разложения скалярного потенциала в
однородном неограниченном проводнике вне области источников тока в ряд
сферических функций; во-вторых, интегральными характеристиками
источников, аналогичными ''механическим" моментам распределения масс в
пространстве; в-третьих, параметрами идеализированных источников -
точечных мультиполей, расположенных в начале координат. Ниже будут
приведены математические соотношения, соответствующие этим определениям.
Выберем правую декартову прямоугольную систему коодинат xyz (в дальнейшем
она называется просто декартовой) и сферическую си-
47Г s
- ф <рм gradro
• dS + - f - В dS, 4ТГ s R
(3.169)
188
стему координат гвф таким образом, чтобы центр сферической системы
совпадал с началом декартовой, ее ось, от которой отсчитывается угловая
координата в (полярное расстояние), - с осью z декартовой системы, а
линия начала отсчета угловой координаты ф (долготы) - с осью х декартовой
системы. Декартовы и сферические коодинаты любой точки пространства
связаны обычными уравнениями:
х= г sin в cos ф, у = rsm в sin ф, z = г cos0; (3.170)
г = л/х2 + у2 + z2, в - arccos
s/x2 + у2
arccos
lit - arccos
jx2+y2' x
y> 0,
\J хг + y:
y< 0.
(3.171)
Поскольку в любой точке (г, в, ф) вне генератора потенциал электрического
поля tр удовлетворяет уравнению Лапласа, его можно представить в виде
следующего разложения в ряд пространственных сферических функций:
ОО
<р = 2 Б [(апт /•"""! + anmrn) Р(tm) (cQsO)cosm ф +
и=0 т =0
+ (рптг~я 1 +b'nmrn)P(tm) (cos б) sin mil/], (3.172)
где Рпт - присоединенная функция Лежандра 1-го рода степени и и порядка т
(пит- неотрицательные целые числа), Р°п = Рп - полином Лежандра и апт,
апт ,Ьпт, Ъпт - постоянные коэффициенты.
При заданном значении г выражение (3.172) представляет собой разложение
потенциала р на сферической поверхности с радиусом г в ряд поверхностных
