Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
(3.147) и (3.148) - для границы между биологическим объектом и
окружающим его воздухом, условие (3.149) - для случая, когда
биологический объект окружен веществом с очень высокой удельной
электрической проводимостью, например металлической оболочкой.
Интегральные уравнения, связывающие характеристики генератора с
характеристиками электрического и магнитного полей в кусочнооднородной
среде, можно вывести .разными способами - с помощью теоремы Грина,
теоремы Гельмгольца или же на основе рассмотрения свойств поверхностей
разрыва поля [35, 43, 60, 61, 114, 115, 154,156]. Возьмем в качестве
исходного соотношения теорему Грина, которая записывается как
S (ФАФ-ФАФ)йУ= $ I Ф --Ф -W (3.150)
V S \ Ъп дп j
где Ф и Ф - конечные, непрерывные и дважды непрерывно дифференцируемые
скалярные функции, заданные в области пространства V, ограниченной
замкнутой поверхностью S (область V и поверхность S должны удовлетворять
некоторым дополнительным математическим требованиям, которые здесь не
существенны), и п - внешняя нормаль к поверхности S.
. Рассмотрим кусочно-однородную область, представляющую среду, в которой
происходят исследуемые биоэлектрические процессы (рис. 3.3), и для каждой
однородной составляющей области запишем уравнение теоремы Грина (3.150),
положив в нем Ф = и Ф = 1/7?, где Iр - электрический потенциал,
создаваемый биоэлектрическим источником, и R - расстояние от текущей
точки интегрирования внутри области до неподвижной точки наблюдения.
Чтобы не нарушать условия применимости теоремы Грина, точку наблюдения,
где R = 0, исключим из области интегрирования, окружив малой сферической
поверхностью с центром в этой точке. Кроме того, введем большую
сферическую поверхность также с центром в этой точке, охватывающую все
рассматриваемые области пространства. Просуммируем полученные уравнения
для всех областей, расположенных между поверхностями указанных малой и
большой сфер, предварительно умножив каждое уравнение на удельную
электрическую проводимость соответст-
181
z
6=0
Рис. 3.3. Представление биологического объекта в виде кусочно-однородного
проводника, окруженного диэлектриком (область генератора затемнена)
вующей области:
- - Ар dV
R
= 2 $ о р -
С Эл
(3.151)
Преобразуем левую часть полученного уравнения, учитывая, что
Д = 0, а величина Ар, не равная нулю только
в области генерато
ра, определяется уравнением (3.96). Правую часть также преобразуем,
принимая во внимание граничные условия (3.145) и (3.147). Кроме того,
устремим радиус большой сферы к бесконечности, а радиус малой сферы - к
нулю; нетрудно показать, что при этом интеграл правой части уравнения по
поверхности большой сферы обратится в нуль, а интеграл по поверхности
малой сферы принимает значение 4тгогр, где ог - удельная электрическая
проводимость области, в которой находится точка наблюдения, к р -
потенциал в этой точке. В итоге (3.151) принимает вид
где Sk - участок поверхности раздела между областями с удельными
электрическими проводимостями Oi и а2, а общее число таких участков равно
N\ единичная нормаль к поверхности раздела пнаправле-
182
f - dV = 47га,.^(г) + V R
+
(3.152)
на от области, обозначенной индексом. 1, к области, обозначенной индексом
2. Последнее уравнение можно записать в более удобной форме с учетом
(3.101) и (3.109):
*(r)= I J*-grad,0 1 \dV
41ГОг у \ R
N I 1 ,
2 J (o,-o3)*grad,0 - -dS (3.153)
4nor jfc = i 5, \ R
(векторная элементарная площадь поверхности раздела dS направлена по
единичной нормали п). Сопоставляя это уравнение с (3.109) и (3.115),
видим, что потенциал в неоднородном (кусочно-однородном) проводнике
слагается из двух частей: потенциала, создаваемого в однородном
неограниченном проводнике с удельной электрической проводимостью области
наблюдения ог первичным генератором J*, и потенциала, создаваемого в
таком же проводнике двойными слоями источников с мощностью - (oi -а2)^ на
поверхности раздела однородных областей. Эти двойные слои можно
рассматривать как вторичные источники, действие которых, эквивалентно
влиянию неоднородности среды.
В реальных условиях объемный проводник, образующий биологический объект,
обычно окружен непроводящей средой. Если из суммы последнего члена
уравнения (3.153) выделим слагаемое, соответствующее этой наружной
поверхности Se, полагая для внешней области а2 = 0, то получим уравнение
?(0= ~г- /J*-grad/-n l^r\dV
4 7Г Of у \ R
2 J (Oi -O2)^gradro ( - ) • dS -
47Г or * = 15* \R
- ---f oe^gradr (-M dS, (3.154)
Se \RI -
где ae - удельная электрическая проводимость областей, примыкающих
изнутри к наружной поверхности проводника; 51* - внутренние граничные
поверхности. Здесь наряду с внутренними вторичными источниками имеется
вторичный источник на наружной поверхности проводящего объекта - двойной
слой с мощностью - ае <р.
Другое полезное интегральное соотношение для электрического поля в
кусочно-однородной среде можно получить, применяя теорему Грина точно так
