Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
Bz (г) = О,
где /?, - расстояние от положительного униполя до точки наблюдения Р.
В результате приближения положительного полюса генератора к
отрицательному и перехода к пределу при стремлении расстояния между ними
с/, к нулю и тока генератора I* к бесконечности с сохранением постоянного
значения произведения I*dx получим следующие выражения для электрического
потенциала и компонент магнитной индукции:
I'd, г
Anar'
(3.129)
Bx(r)=~ By(t) =
Др^ dxy Anr3 V0I*d\X Anr3
Bz (r) = 0.
(3.130)
Обобщая эти уравнения для произвольной ориентации дипольного генератора
относительно координатной системы, можно записать
1 ~ , / J_
R
Ф)
-- D- grad,0 (- I =-Ana \R 1
В (г) = ^-D*grad,0 (1-Ап \ R
Апа Ап
D- grad.
(3.131.)
D х grad.
(3.132)
где D - вектор дипольного момента данного токового диполя, имеющий
абсолютную величину D = I'di и направленный от отрицательного полюса к
положительному; индексы г0 и г указывают, что вычисление градиента
осуществляется по отношению к точке расположения диполя и к точке
наблюдения соответственно. Как будет показано ниже, процедуру построения
токового диполя можно обобщить для получения более сложных точечных
генераторов - токовых мультиполей.
Для магнитного поля можно сформулировать фиктивный точечный дипольный
источник, или фиктивный магнитный диполь, исходя из
176
уравнений для магнитного поля замкнутого контура тока. Рассмотрим малый
контур тока I, лежащий в одной плоскости и ограничивающий плоскую
поверхность S. Как было показано выше, его скалярный магнитный потенциал
равен потенциалу равномерного двойного слоя фиктивных магнитных
источников с мощностью / на поверхности, ограниченной этим контуром, и
согласно (3.123) выражается как
*M(r) = J grad,0(-\ - dS. (3.133)
47Г S \R I
Предположим, что размеры контура тока уменьшаются, а значение тока
увеличивается при неизменном значении
DM=/JdS=/S, (3.134)
где DM - суммарный магнитный дипольный момент контура тока, или
''конечного магнитного диполя" и S - векторная площадь контура, равная по
абсолютной величине площади плоской поверхности, ограниченной контуром.
Устремим площадь контура к нулю и перейдем к пределу при указанных
условиях. В результате получается выражение для скалярного магнитного
потенциала, совершенно аналогичное выражению для электрического
потенциала (3.131):
*M(r)= ^DM-grad,0 (-) =-^-DM-grad, (М. (3.135)
4 Я \ R j 4 Я 1 R
Заметим, что к формулировкам точечных генераторов и источников (как
электрических, так и фиктивных магнитных) можно прийти разными путями,
исходя из различных распределенных структур генераторов и источников -
объемных, поверхностных и линейных. И, наоборот, беря за основу точечные
источники и генераторы требуемой структуры, можно сформулировать
соответствующие непрерывно распределенные источники и генераторы. Так, по
аналогии с токовым диполем сформулируем поверхностно распределенный
генератор типа двойного слоя тока, создающий как электрическое, так и
магнитное поле, - токовый двойной слой.
Обратимся к рассмотренному выше двойному слою источников тока и
предположим, что каждый его элемент с дипольным моментом DjdS образован
соответствующим токовым диполем с таким же дипольным моментом. Тогда
наряду с электрическим полем, потенциал которого выражается уравнением
(3.115), полученный токовый двойной слой будет создавать также и
магнитное поле с индукцией, выра-
177
жающейся с учетом (3.132) как
В(г) Hr7^sgrad'°
(3.136)
где интеграл вычисляется по поверхности двойного слоя S. Для частного
случая равномерного токового двойного слоя с постоянной мощностью ?>5,
применяя обобщенную теорему Стокса [2], получаем
где dL - векторная элементарная длина линии, причем интегрирование
осуществляется по замкнутому контуру L, ограничивающему поверхность
двойного слоя S (по краю двойного слоя). Таким образом, магнитное поле
равномерного токового двойного слоя, как и его электрическое поле,
определяется только мощностью двойного слоя и формой его границы. В
частности, замкнутый равномерный токовый двойной слой не создаст во
внещнем пространстве ни электричес-г кого, ни магнитного поля.
Сопоставление (3.118) и (3.137) показывает, что электрическое и магнитное
поля по-разному отражают форму границы равномерного двойного слоя. Так,
деформации Границы, не приводящие к изменению телесного угла, под которым
она видна, не изменяют электрическое поле, но могут изменить магнитное
поле в точке наблюдения.
Интегральные уравнения электомагнитного поля для кусочно-однородной
среды. При исследовании биоэлектрических и биомагнитных полей адекватное
представление среды обычно достигается, если использовать кусочно-
однородную модель, учитывающую ''компартмен-тальное" строение
биологических объектов. Допускается, что объект состоит из небольшого
числа соприкасающихся однородных областей, соответствующих определенным
органам, тканям или жидкостям тела, которые можно считать в данных
условиях однородными по электрическим свойствам. В одной их этих
