Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
Равномерный двойной слой фиктивных магнитных источников с мощностью D(tm)
создает в однородной неограниченной среде скалярный магнитный потенциал,
который по аналогии с (3.115) и (3.118) выражается как
где S - поверхность двойного слоя и И - телесный угол, под которым видна
эта поверхность из точки наблюдения. Подставив это уравнение в (3.91),
получим для магнитной индукции
Мо7*
в(0 =- -------- S gradr0
4 Я [
(3.123)
В (г) = grad П.
(3.124)
Вычисляя изменения телесного угла при перемещении точки наблюдения на
малое расстояние по любому направлению, можно показать, что [42, 50]
где интеграл берется по замкнутому контуру тока. Подстановка этого
уравнения в (3.124) дает
Сопоставление последнего уравнения с (3.122) показывает, что замкнутый
контур стороннего тока, равного /*, создает такое же магнитное поле, как
и двойной слой фиктивных магнитных источников на любой поверхности,
ограниченной этим контуром, имеющий мощность Щ = I* и полярность,
соответствующую правовинтовой системе по отношению к направлению тока в
контуре. Точно так же, как при переходе через электрический двойной слой
происходит разрыв электрического потенциала при сохранении непрерывности
электрической напряженности, при переходе через магнитный двойной слой
претерпевает разрыв скалярный магнитный потенциал, тогда как магнитная
индукция остается непрерывной.
Заметим, что при рассмотрении неоднородной (в частности, кусочно-
однородной) среды, в которой магнитное поле зависит не только от
сторонних, но и от кулоновских токов, также справедливы уравнения (3.122)
- (3.126), в которых, однако, нужно использовать вместо стороннего
суммарный ток (если генератор состоит только из замкнутых контуров
стороннего тока, то суммарный ток сводится к сторонним токам).
При математическом моделировании биоэлектрических процессов весьма важную
роль играют идеализированные точечные источники и генераторы. Точечный
источник унипольного типа был рассмотрен выше.
Совокупность двух униполей с равными по абсолютной величине /*, но
противоположными по знаку токами, расположенных на ненулевом расстоянии й
один от другого, иногда называют конечным диполем тока (в отличие от
идеального, или точечного, диполя, который обсуждается ниже). Конечный
диполь можно охарактеризовать вектором дипольного момента D, направленным
от отрицательного униполя к положительному и равным по абсолютной
величине произведению I*d. От конечного диполя можно перейти к
идеальному, точечному, диполю, сближая униполи и осуществляя
соответствующий предельный переход. Заданная совокупность униполей в
принципе может порождаться бесконечным числом различных пространственных
распределений генератора (стороннего тока); например, в рассматриваемом
случае два униполя могут быть соединены бесконечно разнообразными нитями
стороннего тока. Если исследуется только Электрическое поле, то можно
ограничиться рассмотрением источников и сформулировать точечные
генераторы нужной структуры независимо от генератора во всей его полноте.
Если же представляют интерес как электрическая, так и маг-
174
(3.126)
Рис. 3.2. Токовый диполь и его поле:
а - построение дипольного генератора (токового диполя) из прямолинейного
нитевидного генератора; б - линии тока (тонкие кривые) и линии магнитной
индукции (жирные кривые) токового диполя (стрелка в центре) в однородном
неограниченном проводнике
нитная составляющая биоэлектрического генератора, то необходимо
рассматривать генератор в целом, а не только его источники.
Так, если области, где биохимическими процессами порождаются сторонние
токи, достаточно малы по сравнению с расстоянием между ними и точками
наблюдения, то для описания генератора удобно использовать понятие
идеального, или точечного, дипольного генератора, который в отличие от
дипольного источника определяется не только источниками, но и вихрями
стороннего тока; он имеет структуру элементарного стороннего тока,
расположенного в бесконечно малой области пространства, но эквивалентного
реальному распределенному току в малой, хотя и конечной области
пространства, порождающему исследуемое внешнее электромагнитное поле.
При построении точечного дипольного генератора (в дальнейшем он иногда
называется сокращенно токовым диполем) будем исходить из нитевидного
генератора, на который наложим дополнительное ограничение: он должен
иметь минимальную длину нити, т.е. совпадать с отрезком прямой,
соединяющим полюса. Во избежание слишком громоздких формул выберем такую
декартову систему координат xyz, чтобы отрицательный униполь находился в
начале координат, а положительный - на оси z на расстоянии d, от него
(рис. 3.2). Используя (3.121) и (3.122), можно записать соответственно
следующие выражения для электрического потенциала и компонент магнитной
индукции рассматриваемого ''конечного токового диполя":
(3.127)
175
вх{Г) =
В у (г) =-
До 1*У
Ап(х2 + у2) УрГ**
Ап (х2+у2)
1
*1
z-d,
R
(3.128)
