Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
что остаются неизменными величины, однозначно определяющие поле в каждой
данной точке, - амплитуды и частоты изменения его характеристик.
Произвольное волновое поле может быть представлено как сумма
гармонических полей. Значительное облегчение математического анализа при
этом
157
достигается благодаря введению комплексных векторных и скалярных величин.
Каждую переменную величину, входящую в уравнения Максвелла, а также
электродинамические потенциалы при их гармоническом изменении можно
представить как вещественную часть комплексной переменной, которая
является произведением комплексной амплитуды (вектора с комплексными
компонентами или комплексного скаляра, не зависящего от времени) и
функции e/(t}t, где со = 2гг/ - круговая частота, / - частота и ( -
время. Например, для электрической напряженности и заряда
Е = ReEe/ut, q = Reqefut, (3.53)
где Е и q - векторная и скалярная комплексные амплитуды соответственно.
(Иногда представляется более удобным определить периодические величины
как мнимую, а не вещественную часть комплексных переменных, и показатель
степени е брать с отрицательным знаком; однако это чисто условное
различие, не влияющее на результаты анализа.)
Вследствие линейности системы уравнений Максвелла ее можно переписать для
гармонически изменяющегося поля, непосредственно заменив все переменные
величины соответствующими комплексными переменными, и затем сократить все
уравнения на множитель e,03t. В результате получаются уравнения,
связывающие комплексные амплитуды соответствующих величин. При формальном
переходе к таким уравнениям исходные уравнения, не содержащие производных
по времени, не изменяются, а в уравнениях, содержащих такие производные,
нужно заменить операцию дифференцирования умножением на /со. В частности,
уравнения (3.1), (3.2), (3.29), (3.40) и (3.42) принимают соответствен-
но вид
rot Е =-/со_В, (3.54)
rotH=J+/coD, (3.55)
divJ =-/со/т, (3.56)
ji =- gracb/>-/co A., (3-57)
divA+/coeeMfllp + paay) = 0. (3.58)
После решения уравнений относительно комплексных амплитуд можно
определить искомые вещественные величины по формулам типа (3.53).
Запишем уравнения для комплексных амплитуд векторного и скалярного
потенциалов, соответствующие уравнениям (3.46) и (3.47).
158
Уравнение (3.46) дает
Д^А +(о)2еамв -/содва)А=-дв?*, (3.59)
или
ДА + к2 А =-цаУ^, (3.60)
где
к2 =со2д"ес=-/содаос, (3.61)
ес= ^ I* (3-62)
ас =а ^ 1 + j . (3.63)
Величину ес иногда называют комплексной проницаемостью, а
величину ос - комплексной удельной электрической проводимостью
среды.
Аналогичным образом вместо (3.47) получаем
А<р + к2 <р =-. (3.64)
еа
Уравнения (3.60) и (3.64) - это так называемые уравнения Гельмгольца
относительно комплексных амплитуд электродинамических потенциалов А и <р
(аналогичные уравнения можно получить и непосредственно для комплексных
амплитуд напряженностей Е и Н).
Если предположить, что среда, в которой существует электромагнитное поле,
является однородной и неограниченной во всех направлениях, а сторонние
токи (генератор) находятся в некоторой ограниченной области пространства,
то решения уравнений Гельмгольца для потенциалов записываются в
интегральной форме следующим образом:
l*e~'kR
А (г) = S- f dV, ' (3.65)
- 4 7Г у R
1 ae-ikR
<р(г) = - J ---------------- dV, (3.66)
- 47геа у R
где R = |г-г0| - модуль вектора R = г - г0, направленного к заданной
точке наблюдения поля с радиус-вектором г от текущей точки интегрирования
с радиус-вектором г0. Интегрирование осуществляется по всему
неограниченному пространству V.
Чтобы выразить скалярный потенциал, как и векторный, через плотность
стороннего тока, сначала найдем выражение для плотности заря-
159
да, используя (3.56), а также уравнения (3.3), (3.5) и (3.7), записанные
для комплексных амплитуд. В результате получаем
- комплексная амплитуда плотности источников .тока.
Таким образом, в однородной среде каждая точка области генератора
(области, где не равен нулю сторонний ток) создает сферическую волну,
распространяющуюся с убывающей амплитудой. При этом потенциалы А и <0,
соответствующие каждой точке генератора, распространяются во всех
направлениях со скоростью с/ \/еа^а (где с ~ скорость света в вакууме) и
с амплитудой, изменяющейся обратно пропорционально расстоянию/?.
Рассмотренные здесь математические соотношения получены с учетом ряда
упрощающих допущений, касающихся в основном свойств физической среды. Тем
не менее при решении конкретных электродинамических задач применение этих
соотношений в полном объеме приводит к довольно сложным уравнениям,
иногда слишком трудным для анализа. Поэтому в каждом конкретном
приложении электродинамики желательно с самого начала подробно оценить
условия измерения и свойства исследуемых объектов, с тем чтобы по
возможности внести дальнейшие упрощения в исходное математическое
описание, в то же время не снижая реально достижимую и требуемую точность
анализа. Ниже будут рассмотрены возможности упрощения математических
