Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
ограниченных ею поверхностей, из него следует уравнение (3.1) -
дифференциальное выражение закона электромагнитной индукции.
Второе уравнение Максвелла (3.2) можно получить из закона полного тока
Ампера: линейный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль любого
замкнутого контура L равен полному току проводимости, проходящему через
любую поверхность S, ограниченную этим контуром,
(направление обхода контура и направление нормали к поверхности образуют
правовинтовую систему).
Для обеспечения замкнутости цепей любых непостоянных токов к
плотности тока проводимости формально добавляется величина
dt
называемая плотностью тока смещения. Если к тому же преобразовать левую
часть (3.27) по теореме Стокса, то получим
Поскольку это равенство сраведливо для любой замкнутой линии 152
Ф = J В • dS,
(3.25)
S
получим
(3.26)
i Н • dL = f J • dS
(3.27)
s
(3.28)
и для всех ограниченных ею поверхностей, из него следует уравнение
(3.2) - дифференциальное выражение закона полного тока.
Третье и четвертое уравнения Максвелла (3.3) и (3.4) можно получить из
двух первых, учитывая закон сохранения количества электричества,
выражаемый уравнением непрерывности электрического тока
divJ = - . (3.29)
д t
Иначе эти уравнения можно получить из теоремы Гаусса-Остро-градского,
связывающей интеграл от дивергенции вектора по объему V с интегралом от
этого вектора по замкнутой поверхности S, ограничивающей данный объем.
Так, для электрического поля
J divDdF = $D-dS = J q dV (3.30)
V S V
и для магнитного поля
J divBdF = f В dS =0. (3.31)
V s
Уравнения (3.5) и (3.6) описывают линейную связь между векторами D и Е, В
и Н соответственно, а (3.7) представляет собой обобщенный закон Ома в
дифференциальной форме.
Уравнение (3.8) выражает плотность энергии в каждой точке объема V, в
котором существует электромагнитное поле с суммарной энергией
W = - J E-DdF + i-J H-BdF. (3.32)
2 v 2 v
На основании уравнений (3.23), (3.24), (3.27), (3.28), (3.30) и (3.31)
можно записать так называемую систему уравнений Максвелла в интегральной
форме:
_ d Ф $ Е • dL =- , (3.33)
/ dt
d Ф ? Н • dL - / + , (3.34)
L dt
f D • dS = Q, (3.35)
s
i В • dS = 0, (3.36)
где Ф = / D- dS - поток электрической индукции через поверх-S
153
ность, ограниченную контуром L; I - суммарный ток через эту же
поверхность и Q - суммарный свободный заряд в объеме, окруженном
замкнутой поверхностью S.
Интегральная форма уравнений Максвелла несколько легче трактуется в
приложении к практическим задачам по сравнению с дифференциальной формой,
так как она записана для конечных областей пространства. Дифференциальная
форма более абстрактна с физической точки зрения; в то же время она
позволяет выявить целый ряд важных свойств электромагнитного поля и
связанных с ним величин, изучение которых позволяет предсказать и
количественно описать явления, происходящие в различных конкретных
условиях. В частности, уравнения (3.1) - (3.3) показывают, что причинами
возникновения и изменения электромагнитного поля можно считать наличие
электрических зарядов, их движение и изменения во времени самого поля.
Согласно (3.4) поле магнитной индукции В не имеет источников, т.е.
является соле-ноидальным.
Для удобства анализа уравнений электромагнитного поля вводят
вспомогательные величины - потенциалы. В частности, свойство соле-
ноидальности вектора В позволяет ввести векторный потенциал
электромагнитного поля А, определяемый уравнением
причем тождественно выполняется уравнение (3.4). Подстановка
(3.37) в первое уравнение Максвелла (3.1) дает
Таким образом, векторное поле Е + ---------- не содержит вихрей,
т.е.
dt
является консервативным, или потенциальным. Поэтому его можно выразить
как градиент некоторой скалярной функции. В частности, используется
скалярный потенциал электромагнитного поля у, определяемый уравнением
В = rot А,
(3.37)
(3.38)
ЭА
Е +
ЭА
(3.39)
grad <р -
dt
Из (3.6), (3.37) и (3.39) получаются выражения для электрической и
магнитной напряженностей через потенциалы:
Следует отметить, что поля Е и Н однозначно определяются заданными
потенциалами А и <р, тогда как потенциалы заданного электромагнитного
поля определяются неоднозначно: векторный - с точностью до градиента
произвольной функции, а скалярный - с точностью до производной по времени
от той же функции. Последнее обстоятельство позволяет выбирать потенциалы
так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному
условию. В качестве последнего часто вводят так называемое нормировочное,
или калибровочное, соотношение
div А + (ia + оу = 0, (3.42)
Э t
благодаря которому удается значительно упростить уравнения для
потенциалов при решении конкретных электродинамических задач; можно
показать, что это соотношение фактически является следствием уравнения
непрерывности (3.29).
Заметим, что наряду с вышеуказанным индуктивным подходом к
математическому описанию электромагнитного поля возможен дедуктивный
