Биомагнитные измерения - Кнеппо П.
ISBN 5-283-00557-7
Скачать (прямая ссылка):
электрическая проводимость - это величина, обратная удельному
сопротивлению р:
а = 1/р. (3.12)
149
Основными уравнениями Максвелла (соответственно первым и вторым)
считаются уравнения (3.1) и (3.2), два следующих уравнения (часто
называемых третьим и четвертым уравнениями Максвелла) могут быть получены
иэ первого и второго при некоторых дополнительных предположениях,
отражающих физические ограничения на возможные распределения
характеристик электромагнитного поля в пространстве.
Дифференциальные уравнения Максвелла справедливы только для регулярных
точек поля, т.е. точек, где характеристики поля (скалярные и векторные) и
характкристики среды конечны, непрерывны и имеют непрерывные производные.
Однако в задачах электродинамики нередко возникает необходимость
учитывать наличие поверхностей, при переходе через которые характеристики
поля претерпевают разрыв. Такие разрывы могут быть обусловлены, в
частности, поверхностями раздела сред с разными значениями еа, ца и о, а
также присутствием поверхностных (бесконечно тонких) слоев свободных
зарядов или токов.
Чтобы получить математические граничные условия для основных векторов
электромагнитного поля на поверхностях разрыва, можно рассмотреть слой
пространства конечной толщины, в котором все величины изменяются
непрерывно, и затем выполнить предельный переход к бесконечно тонкому
слою при условии, что уравнения Максвелла
(3.1) - (3.4) остаются в силе. В результате получим следующие граничные
условия:
nx (Е2 - Ej) =0, (3.13)
nx (H2 - H,) = 3S, (3.14)
n. (D2 - D,) = qs, (3.15)
n (Вг - Bj) =0, (3.16)
n- (J2 - ¦" 1) =- - dt (3.17)
где индексами 1 и 2 обозначены соответствующие векторы поля
в
двух смежных точках на противоположных сторонах поверхности разры-
ва; п - единичный вектор нормали к этой поверхности (здесь и в дальнейшем
изложении он считается направленным от точки 1 к точке 2); qs -
поверхностная плотность свободного заряда и J5 - поверхностная плотность
тока на поверхности разрыва. Обозначая индексами п и т соответственно
компоненты векторов по нормали и по любой касательной к этой поверхности,
получим из вышеприведенных уравнений:
Егт -EiT = 0, (3.18)
Егп ~~Ein = q$, (3.19)
150
В 2n Bln =0>
(3.20)
(3.21)
При отсутствии поверхностных токов для напряженности магнитного поля
получаем условие, аналогичное (3.18):
Система уравнений Максвелла вместе с указанными дополнительными условиями
является полной в том смысле, что с ее помощью можно однозначно
определить все характеристики электромагнитного поля в любой момент
времени и в любой точке заданной области, конечной или бесконечной, если
заданы значения векторов электрического и магнитного полей во всех этих
точках в начальный момент времени. Для конечной области должны быть
дополнительно заданы только тангенциальные компоненты электрического или
магнитного полей на поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем,
для всего рассматриваемого периода времени от начального момента - этим
учитывается влияние изменений поля, порождаемых процессами, происходящими
вне данной конечной области. Однозначность решения системы уравнений
Максвелла сохраняется и при переходе к бесконечному (неограниченному)
пространству, если обеспечено достаточно быстрое убывание векторов поля в
бесконечности. Последнее условие формулируется математически в виде так
называемого условия излучения. Учитывая тот факт, что возмущения
электромагнитного поля распространяются в пространстве с конечной
скоростью (скоростью света), можно показать, что условия однозначности
решения системы уравнений Максвелла выполняются во всех случаях,
представляющих практический интерес.
Теория Максвелла является обобщением и формализованным изложением
многочисленных эмпирических и экспериментальных наблюдений, а также
некоторых более частных закономерностей для электрических и магнитных
явлений.
Однако прийти к системе уравнений (3.1) - (3.8) в приведенной выше форме
можно разными путями. Подход, который условно назовем индуктивным [2, 5,
42, 50, 122 и др.], заключается в обобщении некоторых соотношений,
имеющих более частный характер и найденных при исследовании конкретных
электродинамических задач в макроскопических масштабах. Так, первое
уравнение Максвелла (3.1) можно получить из закона электромагнитной
индукции Фарадея: в любом замкнутом контуре L, находящемся в переменном
магнитном поле, возникает электродвижущая сила U, пропорциональная
скорости изменения потока магнитной индукции, иди просто магнитного
потока Ф через поверх-
Н2т - Н1г = 0.
(3.22)
151
ность S, ограниченную этим контуром,
(3.23)
dt
Учитывая соотношение
U = f Е dL = JrotE ¦ dS
(3.24)
L
S
(здесь применена теорема Стокса, связывающая интеграл от ротора вектора
по поверхности S с интегралом от этого вектора по замкнутой линии L,
ограничивающей данную поверхность) й определение магнитного потока
Поскольку это равенство справедливо для любой замкнутой линии и для всех
