Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
vx = V cos 0,
vy = V cos ф *).
') Предполагается, что читатель знаком с элементарными свойствами синусов и косинусов.
При этом третья составляющая равна
Vz — «jv2 — И2 — v2y = V У(1 — cos2e — СОБ2ф)
и равна также I/ cos -ф, где if — угол между направлением скорости и осью г.
Скорость частицы является примером физической величины, характеризующейся определенной абсолютной величиной и определенным направлением. Скорость существует независимо оттого, каким способом мы ее измеряли, хотя по абсолютной величине
Рис. 2 3 Стрелка с обозначением v представляет скорость частицы, имеющую абсолютную величину V и определенное направление Составляющая скорости в направлении произвольной координатной оси равна произведению V на косинус угла между осью и вектором скорости Так, vx =
= V cos 0, vy = V cos ф, t)2 = V cos ф
она зависит от выбранных единиц измерения. Величины, имеющие определенное направление, зависят от ориентации координатных осей; они называются векторами и обозначаются символами, выделенными полужирным шрифтом. Трехмерный вектор скорости частицы, например, может быть записан одним символом v. Величины (vx, vy, иг) являются составляющими вектора v, и последний можно рассматривать как эквивалент трех его составляющих, взятых в совокупности. В дальнейшем мы часто будем использовать запись v = (vx, vy, vz).
Другим примером векторной величины является вектор, задающий положение частицы Р (радиус-вектор) (рис. 2.1, Б). Его абсолютная величина равна длине отрезка ОР (-\Лк2 + У2 + z2), направление задается косинусом углов между ОР и любыми двумя (из трех) координатных осей, а составляющими являются сами координаты х, у, г. Этот радиус-вектор (обозначим его через х) отличается от рассмотренных нами ранее векторов, поскольку он зависит от положения начала координат О. Все другие векторы, характеризующие физические величины, подобные скорости, от положения начала координат не зависят. Векторная форма записи, как и запись А/At для обозначения «скорости изменения чего-либо»,— это прежде всего удобная форма сокращения. Так как по определению vx, vy, vz являются скоростями изменения х, у, г (vx = Ax/dt и т д), мы можем объединить обе формы записи, получив выражение
dx
Скорость (вектор) есть быстрота изменения положения (которое также задается вектором).
Чтобы сложить векторные величины одного и того же типа (например, две скорости или два радиус-вектора), нужно сложить их составляющие. Так, если Xi = (лгь уи Zi) и х2 = (х2, t/2, z2) — два таких вектора, то
Х1 + х2 = (*1 + Х2> У\ + Уя, + Z2). (2.3)
Действительно, рассмотрим двумерный случай (рис. 2.4) и сложим вектор Xi=(jci,t/i), представляющий точку Pi, с вектором х2 = — (Х2,у2), представляющим точку Р2. В рамках геометрической
Xi/
/1 Va
Li.--- L.
Ох, О О к,+ха
Рис. 2 4. Геометрическая интерпретация операции сложения векторов, определенной уравнением (2 3), для двумерного случая. Веекторы Xi и х2, представленные отрезками ОР, и ОРг, при сложении дают вектор Xi + х2, представленный отрез-ьом OQ. О и Q являются противоположными вершинами параллелограмма, боковые стороны которого есть OPi и ОР2.
интерпретации вектор суммы будет представлять точку Q с координатами {xi + Х2, у\ + У2). Это согласуется с выражением (2.3). Рассмотрим, например, снаряд, который вылетает из неподвижного орудия со скоростью v = (y*, vy, vz). Предположим теперь, что орудие движется по земле со скоростью U в направлении оси х [вектор скорости V = (U, 0, 0)]. В этом случае скорость снаряда относительно Земли возрастает на величину U в направлении х, а в направлениях у и г останется неизменной, т. е. v -f- V = = (&*+ U, vy, ve).
2.3. Ускорение
Подобно определению скорости частицы как быстроты изменения ее положения, ускорение частицы определяется как быстрота изменения скорости; это определение тоже может быть представлено в виде математического выражения. При движении по прямой ускорение есть dv/dt и равно тангенсу угла наклона касательной к кривой, описывающей зависимость скорости v от времени t (рис. 2.2, Б). Ускорение, как и скорость, имеет три составляющие, равные быстроте изменения составляющих скорости, и так же, как скорость, является вектором (обозначим его через а):
dv ( dvx dvy dvz
В обозначениях, принятых в дифференциальном исчислении, если и = dx/cIt, то du/dt = d2x/dt2. Эта запись является кратким обозначением быстроты изменения быстроты изменений х. Таким образом, мы можем написать
В соответствии с единицами измерения длины и времени ускорение должно измеряться в метрах за секунду в квадрате (м-с-2).
Четко уяснить смысл ускорения, когда оно является трехмерной величиной, вероятно, не столь просто. Лучше обратиться к одномерному движению частицы по прямой ОХ: если в данный момент времени скорость и увеличивается, то ускорение а = dv/dt положительно; если же v уменьшается, то а отрицательно. Когда частица движется по направлению к началу координат, ее скорость v отрицательна; но если движение частицы в это время замедляется, то ее ускорение а положительно. Для того чтобы лучше понять все сказанное выше, обратимся к рис. 2.5, где приведены графики изменения во времени величин х, v и а для частицы, которая «стартует» из положения покоя в точке О и движется с ускорением до тех пор, пока не достигнет определенной скорости. Последняя сохраняется неизменной в течение некоторого времени, а затем уменьшается с постоянной скоростью (частица движется с постоянным отрицательным ускорением). Далее скорость меняет знак (частица начинает возвращаться к точке О) и достигает постоянного отрицательного значения, равного по абсолютной величине предшествующей положительной скорости. Через некоторое время движение частицы начинает замедляться (с положительным ускорением), и она останавливается в исходной точке О. В приведенном примере направление ускорения (знак о) не зависит от направления движения (т. е. от знака у).
