Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Скорость
Еще одной важной для описания движения частицы величиной является скорость, или быстрота, с которой меняется положение частицы. Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль прямой ОХ (рис. 2.2, Л). Ее положение полностью задается одной координатой-расстоянием х от точки О. Если координата точки в момент времени t есть х, а в следующий момент, V, — х', то средняя скорость движения частицы в интервале времени от t до t' составит v = (х' — *)/(/'—0- Это определение справедливо для любого сколь угодно малого интервала времени, даже если ?—t и, следовательно, х' — х стремятся к нулю. Величину, к которой стремится v, когда t' —1-> 0, называют мгновенной скоростью частицы в момент времени t\ эту величину записывают в виде
0—-ДГ. (2.1)
Ясно, что скорость частицы, движущейся в обратном направлении, т. в. к точке О, отрицательна, поскольку х’ < х.
о|—
Положение
Времр
Рис. 2.2. А. Частица, движущаяся по прямой ОХ, в момент времени t находится на расстоянии х от неподвижной точки О, а в более поздний момент времени ? — на расстоянии х'. Величина (*' — х) / (f' — t) является средней скоростью частицы за интервал времени от t до ?. Если этот интервал делать все более малым, так что величина t' — t будет стремиться к нулю, то х' — х также станет уменьшаться, но средняя скорость будет стремиться при этом к вполне определенному пределу (v). Эта величина и является скоростью частицы в момент времени t. Б. На верхнем графике представлена зависимость пройденного частицей расстояния х от времени t. Величина (х' — x)/(t'— t) равна наклону прямой РР' (и равна tg ф). Когда ? — t стремится к нулю, прямая РР' приближается к касательной к кривой в точке Р(касательная изображена на рисунке штрихпунктирной линией), наклон которой равен о( = tg г|)), т. е. скорости частицы в момент времени t. На яижнем графике представлена соответствующая этому движению зависимость v от I.
Определение dx/dt можно пояснить графически (рис. 2.2,Б). В верхней части этого рисунка представлено изменение х во времени. Рассмотрим две точки на графике — Р (х, t) и Р' (хt'). Величина (*' — x)/(t' — t) равна тангенсу угла <р между прямой, соединяющей эти две точки, и осью t. Эта величина называется наклоном данной прямой. Когда t'—t стремится к нулю, точка Р' приближается к точке Р, а соединяющая их прямая приближается к касательной к кривой в точке Р (штрихпунктирная линия на рис. 2.2). Из рисунка видно, что величина dx/dt (т. е. г>) является наклоном касательной к кривой в точке Р и равна по величине tgxJ). На рис. 2.2, Б представлен также график изменения v во времени.
Разрешение парадокса Зенона заключается в проведении описанной выше процедуры предельного перехода; без него опреде-
лить мгновенную скорость частицы через ее положения в последовательные моменты времени невозможно.
Идея предельного перехода была сформулирована лишь в XVII в, когда Ньютон и Лейбниц создали основы теории дифференциального исчисления. Символ А/At, принятый в этой области математики, обозначает скорость изменения некоторой величины во времени В рассмотренном выше примере все содержание, которое мы вкладываем в выражение Ах/At, — это скорость, с которой х изменяется во времени. Единицы измерения скорости цолжны соответствовать выбранным единицам измерения расстояния и времени. Если расстояние измерено в метрах, а время — в секундах, то скорость необходимо измерять в метрах за секунду (м-с-1).
Приведенное выше определение скорости легко обобщить на случай трехмерного движения частицы. Если упоминавшаяся уже муха летит из одного угла комнаты в Другой, то все ее координаты изменяются во времени. Чтобы полностью определить движение, необходимо указать, каким образом изменяются эти координаты. Точка X на рис. 2.1 перемещается вдоль оси х со скоростью vx = Ах/At, точка Y движется вдоль оси у со скоростью vy = = Ay/At, точка Z движется вдоль оси г со скоростью vz — dz/dt. Скорость (трехмерная) точки Р, таким образом, полностью определяется тремя величинами {vx,vy,vz), которые называются составляющими скорости точки Р в направлениях х, у и г соответственно. Ясно, что значения составляющих зависят от ориентации координатных осей, но не зависят от положения начала координат— точки О. Полная скорость перемещения точки Р, т. е. составляющая ее скорости вдоль линии, строго параллельной направлению движения, не зависит от ориентации осей. Можно показать, что эта скорость (ее называют абсолютной величиной, или модулем скорости) равна + xP + v\ ; она всегда положительна, даже если одна или все составляющие отрицательны.
С таким же успехом мы можем задать скорость движения частицы в трехмерном пространстве и другим способом, а именно указав абсолютную величину скорости и направление движения относительно любых двух координатных осей (например, направление движения мухи и абсолютная величина ее скорости полностью определяют скорость). Если абсолютная величина скорости есть V, а углы, которые она составляет с осями х и у, равны соответственно 0 и <р (рис. 2.3), то составляющие vx и vy задаются выражениями
