Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Каро К. -> "Механика кровообращения" -> 62

Механика кровообращения - Каро К.

Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения — М.: Мир, 1978. — 624 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikakrovoobrasheniya1978.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 258 >> Следующая

у+Т«2 + ^-ЙГ= const, (8.26)
где k — константа (с размерностью длины), а р — считающаяся постоянной плотность жидкости. В точном уравнении, описывающем нестационарный поток, член, представляющий локальное ускорение, имеет более сложный вид, но он, как и в рассмотренном здесь случае, линеен, поэтому уравнение (8.26) является адекватной моделью системы в данном контексте. Если бы член, представляющий конвективные ускорения (уы2). был пренебрежимо мал, то уравнение (8.26) свелось бы к виду
(8.27)
Из приведенного определения линейности следует, что уравнение
(8.27) линейно, тогда как (8.26) — нелинейно. Предположим, что в каждой точке скорость жидкости колеблется с угловой частотой to и пропорциональна, скажем, cosat. Если поведение системы описывается уравнением (8.27), это движение будет сопровождаться колебанием давления той же частоты, пропорциональным sin со/. Но если определяющим является уравнение (8.26), то из решения, в котором и пропорционально cos at (и, следовательно, du/dt пропорционально sin at), будет следовать, что и2 пропорционально cos2 at, т. е. -j4"T cos2co/. Таким образом, волне скорости, характеризующейся единственной частотой со, соответствует существование среднего давления и его колебательных компонент не только с частотой со, но также и с частотой 2со. Как мы увидим далее, это значительно затрудняет анализ несинусоидальных колебаний.
8.6. Фурье-анализ
В общем случае периодическое волновое движение обычно не является чисто синусоидальным. График зависимости смещения струны от положения х в произвольный момент времени или график зависимости скорости крови в данном месте артерии от времени нередко имеют чрезвычайно сложную форму (см. последний график на рис. 8.14). Однако такой график может быть представлен в виде суммы некоторого набора синусоид с различными фазами, амплитудами и частотами, кратными основной частоте со(== 2л/Т), где Т—полный период колебаний. Процесс разложения волны сложной формы на синусоидальные составляющие называется фурье-анализом. Различные по частоте составляющие, которые в совокупности создают полную волну, как и прежде, называются гармониками основного колебания (разд. 8.2). Число гармоник, необходимых для достаточно точного описания полного колебания, может быть различным. Например, волна, представленная на рис. 8.14, которая аналогична по форме волне скорости крови в артерии, практически может быть представлена в виде суммы средней величины, основного колебания и трех гармоник. Соответствующая формула имеет вид
и = А0+А1 cos (со/ + 6i) + А-, cos (2со/ + 62) +
¦4" А% cos (Зсо/ -4" 03) -J- А4 cos (4со/ ~г 64)» (8.28)
где Ao/Ai = 0,44, Л2/Л! = 0,97, A3/Aj = 0,47, Л4/Л1 = 0,14, 0, = = —58? = —1,01 рад, 02=-—151° = —2,64 рад, 03 = +124° = = 2,16 рад, 04=4-86°= 1,5 рад. На рис. 8.14 показана, каким образом, складывая эти составляющие, мы получаем полную форму волны.
Фурье-анализ можно применять для волн любой формы. Эта процедура значительно упрощает изучение колебаний и волн в линейных системах, но для1 анализа нелинейных систем она малопригодна. Предположим, что мы хотим с помощью уравнения
(8.27) рассчитать давление крови р в артерии, измерив скорость и, которая носит колебательный характер. Для этого мы можем представить скорость в виде суммы синусоидальных составляющих, как это сделано в уравнении (8.28). После этого можно при-
Рис. 8.14. Графическое представление периодического волнового движения, аналогичное графику зависимости скорости крови в артерии от времени. (McDonald. Blood flow in arteries, p. 129. Edward Arnold, London) Показано, как при сложении средней величины, основного колебания и трех гармоник можно полностью воссоздать форму волны. Аналитически каждая из этих составляющих
дается уравнением (8.28) ¦).
влечь уравнение (8.27) и рассчитать колебание давления, соответствующее колебанию одной из составляющих скорости. Так, для составляющей и = Ап cos (nai + 9«) это уравнение, в котором const = 0, даст р = ркпюАп sin(nto^ + 9«) [константа в правой части уравнения (8.27) равна средней величине левой части, т. е. ро/р]. Сложив полученные таким образом колебания давления всех видов, мы найдем результирующее давление; это сложение правомочно, поскольку система линейна. Однако в нелинейной системе, представленной уравнением (8.26), все частотные составляющие взаимодействуют друг с другом (как в рассмотренном выше примере). В таком случае независимое сложение решений, полученных при подстановке в уравнение (8.26) на место и только одного синусоидального члена, необоснованно.
') На схеме, как и во многих работах, принята система обозначений, при которой основное колебание для единообразия называется первой гармоникой, — Прим. перев.
Как будет показано в гл. 12, волны давления, распространяющиеся в крупных артериях, являются приблизительно линейными и их основные параметры могут быть получены из линейной теории. Однако некоторые характерные свойства этих волн можно объяснить только с помощью нелинейного подхода. Среди таких свойств — увеличение в отдельных случаях крутизны фронта волн давления при распространении по сосудистому руслу, а также наличие высокоамплитудных колебаний, благодаря которым прослушиваются характерные звуки при сдавливании артерии манжеткой тонометра (так называемые тоны Короткова; разд. 14.4), Нелинейность наблюдается также в венах (гл. 14),
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 258 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed