Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
8.5. Линейность
В гл. 12 мы рассмотрим применение изложенных выше соображений о свойствах волн при анализе волновых явлений в сердечно-сосудистой системе млекопитающих, к которой, как будет показано, эти и ряд других свойств имеют непосредственное отношение. Важно, однако, уже сейчас отдавать себе отчет в том, что использованные нами относительно простые подходы справедливы только в том случае, когда амплитуда колебаний достаточно мала, так что возвращающая сила пропорциональна смещению, а демпфирующая — скорости смещения. В этом случае колебания и волны называют линейными. Линейность — сугубо математическое понятие, но оно настолько важно в теории распространения волн, что заслуживает более подробного рассмотрения.
Предположим,. что система функционирует так, что какие-то две переменные величины всегда остаются определенным образом связанными друг с другом. Это могут быть измеренные в данном месте скорость и давление крови в артерии, смещение и ускорение частицы при колебательном движении или масса живого организма и потребление им кислорода; в принципе это может быть система самого общего вида. Обозначим две указанные перемеи иые через и и р. Связь между икр линейна, если график зависи-
мости и от р является прямой, в частности, когда и прямо пропорционально р, т. е.
и = ар, (8.25)
где а — константа. Можно получить также и более общее определение линейной системы: если щ и р< являются одной парой значений соответствующих друг другу величин и и р, а и2 и р2— другой такой парой, то система линейна, если щ + и2 и рх + р2 также являются парой значений соответствующих величин. Ясно, что система, представленная уравнением (8.25), линейна согласно этому определению1), а система, описываемая, скажем, уравнением и = р2, график которого есть парабола, таковой не является.
Аналогичным образом система, определяемая уравнением (8.2), которое описывает простое гармоническое движение, и соответствующими начальными условиями, также является линейной. Мы видели, например, что решение у — a cos (at соответствует начальному смещению а [выражение (8.5)], а решение у = — sin Ы— начальной скорости V [выражение (8.7)]. Легко проверить, что
V
сумма этих решений, т. е. у — a cos со/ + — sin ю/, соответствует
состоянию, в котором начальное смещение равно а, а начальная скорость — V. Описанное ранее отражение синусоидальных волн является процессом линейным, если удвоение амплитуды падающей волны приводит к удвоению амплитуды отраженной волны и т. д. Более того, чтобы полное смещение представляло собой просто сумму смещений, связанных отдельно с падающей н отраженной волнами, линейной должна быть и среда, по которой распространяются волны (натянутая струна).
Уравнения, определяющие поведение почти всех реальных физических систем, в действительности нелинейны. Например, истинным уравнением, описывающим колебания простого маятника, является (8.2а), а не (8.2); оно сводится к виду (8.2), только если угол 0 достаточно мал, так что sin0 примерно равен 0. Погрешность этого приближения пропорциональна 03 2) — величине, гораздо меньшей, чем 0, если 0 много меньше единицы: при 0 = 0,1
03 равно 0,001. Пока 0 остается достаточно малым, реальная нелинейная система, описываемая уравнением (8.2а), ведет себя практически как линейная, и мы получим достаточно точное представление о поведении реальной системы, анализируя гораздо более простую линейную систему. Сведение низкоамплитудной нелинейной системы к линейной называется линеаризацией. Эта про-
•) Более точно следующее определение: связь между и и р линейна, если и ар + Ь, где а, Ъ — постоянные; уравнение (8.25) выражает линейную Однородную связь. — Прим. ред.
*) Поскольку приближением для sin 0, лучшим, чем просто 0, является G — 03/6.
цедура очень часто используется во многих прикладных задачах, в частности, при исследовании потока крови в артериях, поскольку линейные системы несравненно проще анализировать. Однако при всех практических приложениях необходимо убедиться, что отброшенные нелинейные члены уравнения, описывающего реальную систему, действительно малы по сравнению с линейными. Если это не так, нелинейности существенны и необходимо оценить их влияние.
Примером системы, которая обычно трактуется как линейная, но при определенных обстоятельствах все же проявляет нелинейные свойства, является натянутая струна конечной длины, которую вынуждают колебаться с частотой, близкой к одной из собственных частот. Волны, создаваемые источником колебаний, многократно отражаются таким образом, что усиливают сами себя (резонанс), вследствие чего их амплитуда становится очень большой. В этих условиях линейное приближение, в котором волны анализировали первоначально, перестает быть справедливым. Детальный анализ резонансных систем с учетом нелинейностей обычно очень сложен.
Уравнения механики жидкостей нелинейны из-за члена, представляющего конвективные ускорения: примером может служить уравнение Бернулли (4.6), которое связывает давление р со скоростью и жидкости при стационарном движении в случае, когда вязкостью можно пренебречь. Предположим, что жидкость течет в горизонтальной трубке (и поэтому сила тяжести несущественна) с переменной площадью поперечного сечения (и поэтому и меняется вдоль трубки; разд. 4.6); если трубка еще и упругая, то, как мы увидим в гл. 12, рассматриваемая система может служить моделью потока крови в крупных артериях. Предположим также, что течение колебательное, а уравнение Бернулли можно модифицировать, введя член, пропорциональный локальному ускорению Ail/At, так что оно будет учитывать нестационарность потока. Тогда мы получим
