Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим сначала гипотетическую жидкость, вязкость которой равна нулю, и временно будем считать, что прилипание на поверхности тела отсутствует. Это означает, что пограничный слой на твердых границах (разд. 5.3) в данном случае не образуется. Влияние пограничного слоя будет учтено ниже. Предположим, что цилиндр неподвижен и жидкость на достаточном расстоянии от него движется вперед с постоянной во всех точках скоростью V (рис. 5.18). Вблизи тела на пути некоторой части жидкости возникает препятствие, жидкость замедляет свое движение и обтекает контур тела.
Элементы жидкости, находящиеся в начальный момент достаточно далеко от тела, по мере приближения к цилиндру отклоняются вверх или вниз, как это показано на рис. 5.18, а затем, оставив тело далеко позади, возвращаются на свои невозмущенные траектории. При стационарном течении элементы жидкости движутся вдоль линий тока (линий, всюду параллельных вектору скорости; разд. 4.7), и поэтому рис. 5.18 является также схематическим изображением картины линий тока (движущийся цилиндр будет толкать жидкость впереди себя и подтягивать ее за собой; картина формирующегося при этом потока изображена на рис. 5.19). Для жидкости «легче» обтекать подобным образом контур цилиндра (чтобы привести жидкость в движение из состояния покоя, требуется меньше энергии), чем, например, образовать
простирающуюся вдоль оси х бесконечно длинную область, в которой жидкость полностью неподвижна.
Одна из линий тока разделяет часть жидкости, обтекающую цилиндр сверху, от той ее части, которая обтекает его снизу. В точке, где эта линия встречается с цилиндром, скорость должна быть нулевой, хотя мы не принимали условие прилипания на границе. Нормальная составляющая скорости равна нулю, так как
Рис. 5.18. Картина течения в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Показаны линии тока (траектории частиц) для стационарного течения невязкой жидкости, обтекающей *' цилиндр. Скорость жидкости вдали от цилиндра одинакова во всех точках и параллельна линии Х'Х. А и D — критические точки; б и С — точки, где в отсутствие вязкости скорость достигает максимального значения.
Рис. 5.19. Линии тока при движении цилиндра в жидкости, неподвижной на большом расстоянии от него (напомним, что это течение нестационарное). При движении жидкость расталкивается в стороны перед цилиндром и смыкается за иим.
жидкость не проходит сквозь твердое тело, а тангенциальная составляющая нулевая, потому что иначе течение вокруг цилиндра было бы не симметричным. Указанная точка (на рис. 5.18 она обозначена через А) называется критической точкой, или точкой торможения.
Из теоремы Бернулли [уравнение (4.6)] известно, что давление в точке А больше давления р0 в отдаленных областях жид*
кости, где поток однороден, на величину, равную у pi/2; это превышение давления может рассматриваться как фактор, порождающий силу, которая отклоняет элементы жидкости, приближающиеся к телу. Скорость элемента, который проходит вблизи точки
А и потому имеет здесь скорость, близкую к нулю, обязательно должна возрастать, так как вследствие избытка давления он подвергается воздействию боковой силы и с ускорением движется к точке В (или С) цилиндра. Линии тока в этой области расположены теснее, чем вдали от цилиндра, указывая, что скорость здесь больше, чем U. Действительно, скорость жидкости в точках В и С (рис. 5.18) равна 2U; все элементы среды ускоряются при обтекании передней (носовой) половины цилиндра, пока не достигнут его верхней (или нижней) части. Согласно теореме Бернулли,
О
давление в точках В и С меньше, чем р0, на величину у pU2.
Когда вязкость отсутствует, картины обтекания задней (кормовой) и передней половин цилиндра симметричны. После прохождения линии, соединяющей точки В и С, элементы жидкости за-
медляются, давление вдоль поверхности цилиндра растет 1в точке
линдром снова устанавливается однородный поток.
Симметричность потока позволяет думать, что результирующая сила, действующая на цилиндр, равна нулю. Можно показать аналитически, что действительно ни одно тело в однородном потоке невязкой жидкости не подвергается действию силы, увлекающей его в направлении движения потока. Это утверждение, впервые высказанное французским ученым Д’Аламбером в 1752 г., не согласуется с нашими повседневными наблюдениями: мы знаем, что все тела, движущиеся в жидкости, испытывают некоторое противодействие, или сопротивление. Это сопротивление имеется даже тогда, когда коэффициент вязкости чрезвычайно мал (при 20°С для воздуха ц= 0,00181 Н-с-м-2, а для воды 0,1 Н-с-м-2). Данное противоречие, называемое парадоксом Д Аламбера, очень занимало ученых XIX в. Его разрешение состоит в том, что абсолютно все жидкости обладают вязкостью, и, как бы ни было мало ц, вязкость искажает картину потока настолько, что сопротивление становится заметным.
Рассмотрим теперь реальную жидкость, скорость которой вдали от неподвижного цилиндра диаметром d равна U. В этом случае число Рейнольдса есть Ud/x, где v = ц/р — кинематическая вязкость. Когда это число велико, инерционные силы преобладают над вязкими всюду, кроме прилегающих к границам областей, в которых должно сказываться прилипание. Следовательно, можно полагать, что везде, кроме этих областей, поток будет очень похож на поток невязкой жидкости. Элементы жидкости будут замедляться по мере приближения к критической точке А (см. рис. 5.18) и ускоряться при обтекании передней половины цилиндра. Около стенки будет существовать область, в которой скорость среды падает до нуля, как это диктуется условием прили-
