Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
6—^л/Стг)*
или ______
6 “ kX л/ОшО *
Легко видеть, что член UX/v— это число Рейнольдса Rex для потока, в котором роль характерного размера играет расстояние X от начала трубки до данного сечения. Поэтому можно переписать уравнение (5.3) в виде
t> = kXRe-42' (5.6)
Когда /?е <С 1, мы можем считать, что вязкие силы преобладают, а инерционные пренебрежимо малы. Например, на уровне микрососудов (сюда мы будем относить сосуды диаметром порядка 100 мкм и менее) типичные числа Рейнольдса меньше единицы и течение может рассматриваться как чисто вязкое. Когда же Re~^> 1, напротив, преобладают инерционные силы, а вязкость (во всех областях, кроме пограничных, где она по-прежнему существенна) лишь незначительно изменяет характер течения. Примерами такой ситуации служат течения в крупных артериях и венах.
5.5. Турбулентность при течении в трубке
В 1883 г. Рейнольдс опубликовал результаты важных исследований, касающихся течения в длинных трубках. Измеряя градиент давления вдоль трубки при увеличении расхода, он обнаружил, что при относительно низких скоростях градиент давления прямо пропорционален расходу, что и следовало ожидать из закона Пуазейля [уравнение (5.1)], а при более высоких становится примерно пропорционален квадрату расхода (рис. 5.7). При некоторых промежуточных значениях расхода связь между градиентом
давления и расходом менялась во времени: в один момент наклон кривой на рис. 5.7 мог быть равен 1, а в другой — увеличиться примерно до 2. Если в ходе эксперимента принимались специальные меры для обеспечения полной стационарности потока на входе в трубку, а сама трубка была прямой и чрезвычайно гладкой, то удавалось добиться того, что критическое значение расхода, при котором наблюдалась смена одного режима течения другим, становилось гораздо выше.
Для потока воды в трубке диаметром 1 см критический расход, при котором происходит изменение характера указанной зависимости, составляет примерно 1 л-мин-1. Эта величина мала по сравнению с теми расходами, которые встречаются в повседневной практике (скажем, в водопроводных трубах или шлангах для полива).
Рейнольдс поставил еще одну серию классических экспериментов, где ему удалось визуализировать процессы внутри потока. Он изучал течение воды в стеклянной трубке, вводя в ту ее часть, которая достаточно удалена от начала, тонкую струйку подкрашенной воды по оси трубки (т. е. в основном потоке), а затем наблюдая за ее поведением. При низких расходах струйка оставалась сплошной и двигалась вдоль оси трубки в виде от-
Рис. 5 7. Построенный в логарифмическом масштабе график зависимости объемного расхода Q от градиента давления Ap/L при стационарном течении, иллюстрирующий изменение характера этой зависимости по мере увеличения расхода.
ig О
Рис. 5.8. Движение струйки подкрашенной воды в длинной прямой трубке. Вверху, стационарное осевое движение струйки в потоке при низких Re. Посередине: при Re, немного превышающих критическое значение, ламинарное движение нарушается и наблюдаются всплески турбулентности. Внизу, при более высоких Re поток становится полностью турбулентным, краска движется хаотически.
дельной нити. При более высоких расходах непрерывность нарушалась и струйка начинала перемешиваться со всем объемом воды (рис. 5.8); скорость перемешивания увеличивалась с ростом расхода. При расходах, лишь немного превышающих критическое значение, наблюдалось чередование областей плавного движения струйки и нарушенного ее течения.
Хаотичность движения подкрашенной воды означает, что и в самом потоке происходят интенсивные хаотические движения. Если бы мы провели скоростную киносъемку движения струйки, а затем медленно просмотрели пленку, то увидели бы, что отдельные элементы струйки движутся беспорядочно, так что их скорости
хаотично изменяются во времени и в трех направлениях. Однако, рассчитав среднюю по времени скорость небольших элементов струйки, проходящих через некоторую точку данного поперечного сечения трубки, а затем повторив этот расчет для другой точки того же сечения, мы увидели бы, что существует четко выраженный профиль средней по времени скорости. При этом средняя скорость в любой точке сравнима по величине с мгновенными скоростями хаотического движения элементов. Увеличение градиента давления, наблюдавшееся в первой серии экспериментов Рейнольдса, происходит как раз в тот момент, когда начинается турбулентное движение. Турбулентность приводит к увеличению диссипации энергии и, как следствие этого, к более быстрому падению давления.
Расчет числа Рейнольдса для течений в описанных выше опытах показывает, что при Re < 2300 поток всегда ламинарный, когда же Re превышает 2500, в потоке постоянно наблюдается турбулентность, которая становится все более интенсивной с ростом Re. В диапазоне между 2300 и 2500 происходит смена режимов и турбулентность то появляется, то исчезает *).
Метод визуализации течения с помощью струйки красителя можно использовать также для наблюдения за развитием турбулентности в трубке по мере удаления от входа. Для этого в систему, изображенную на рис. 5.1, когда расход достаточно высок и поток турбулентен, вводят струйки красителя на разных расстояниях от начала трубки и в разных точках данного сечения, наблюдая за их поведением по мере того, как они сносятся вниз по течению. Непосредственно на входе профиль скорости плоский, все элементы жидкости движутся с одинаковой скоростью. На небольшом расстоянии от входа под действием вязких сил происходят определенные изменения профиля (их характер рассматривался нами выше), но струйки еще сохраняются и турбулентность отсутствует. Ниже по течению непрерывность струек внезапно нарушается, т. е. поток становится турбулентным. Первыми разрушаются струйки, проходящие по краю пограничного слоя, а через небольшое расстояние —струйки внутри пограничного слоя и в ядре потока. Сформировавшийся далеко вниз по течению профиль средней по времени скорости отличается по форме от параболического, свойственного ламинарному потоку. Ядро потока имеет
