Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Результирующая сила = Ар X n {(г + dr)2 — г2}-Так как dr мало, можно записать:
Результирующая сила = Аря2г dr.
Результирующую вязкую силу, действующую на слой, можно получить как разность вязких сил для двух поверхностей слоя. Напряжение сдвига в произвольной радиальной точке дается выражением (разд. 4.3)
Тогда скорость изменения этого напряжения с радиусом имеет вид
Таким образом, при малых приращениях радиуса dr разность напряжений сдвига в точках с радиусами г и (г + dr) задается вы-ражением
и результирующая вязкая сила, действующая на слой, есть Сила = (гц dr X 2nL.
Следовательно, уравнение баланса двух сил, действующих на слой, имеет вид
— Ар X 2я rdr = -?г (гц dr X 2nL.
Отсюда
d(^4r)=-JT“rdr-
Если мы теперь проинтегрируем это уравнение (т. е. просуммируем подобные равенства по всем слоям в сечении и устремим dr к нулю), то получим закон Пуазейля [уравнение (5.1)]. Мы можем также показать, что
« = f/o(l (5.2а)
где и есть скорость среды в точке, отстоящей от оси трубки на расстояние г, Uо — скорость потока на оси трубки, а = l/2d— радиус трубки. Выражение для средней скорости среды можно записать в виде
U — 4Qjnd2 = Q/na2,
и уравнение (5.2а) при этом будет иметь вид
Таким образом, распределение скорости по сечению трубки является параболическим, и это объясняет результаты описанного выше эксперимента с введением в поток краски. Заметим также, что скорость на оси трубки вдвое выше средней скорости жидкости.
Из параболичности профиля скорости по сечению трубки следует, что скорость сдвига является линейной функцией радиуса:
Скорость сдвига =—¦= — 2U0r/a2.
На оси (г = 0) скорость сдвига равна нулю, по мере приближения к стенке она линейно возрастает и при г = а достигает максимальной величины, равной —2Uo/a. Таким образом, вязкое напряжение сдвига на поверхности стенки равно —2U0ii/a, и это есть максимальное напряжение сдвига в потоке.
Можно получить закон Пуазейля и другим путем, основываясь на рассмотрении баланса всех сил, которые действуют на участок трубки длиной L и диаметром d. Если разность давлений на двух концах участка равна Др, то суммарная приложенная к нему сила, обусловленная давлением, есть
Суммарная сила = Apnd2/4.
Сила, противодействующая ей, равна суммарной вязкой силе торможения, действующей по всей поверхности образованного жидкостью цилиндра. Таким образом,
Вязкая сила = Вязкое напряжение сдвига на стенке X X Площадь внутренней поверхности трубки = —X я dL. Так как другие силы отсутствуют,
— Apitd2/4 = — AnUoLp-
Подставив Uo = 20 и О = 4Q/itd2 в это уравнение и перегруппировав члены,получим
др=128^в.
Легко видеть, что это и есть закон Пуазейля, представленный уравнением (5.1).
Исследование полного баланса сил применительно к потоку весьма поучительно, так как оно позволяет продемонстрировать, что потоку противодействуют именно вязкие силы торможения со стороны стенок трубки 1).
') Формула Пуазейля (5.1) и теорема Бернулли (разд. 4 7) практически никогда не используются одновременно, так как относятся к противоположным идеализированным случаям течения: первая — к вязким течениям без инерционных эффектов, вторая — к течениям невязкой жидкости. — Прим. ред.
5.2. Течение на начальном участке трубки
Необходимо подчеркнуть, что условия пуазейлевского течения реализуются только в прямых трубках, причем на достаточном удалении от входа, а также от изгибов, сужений и других источников возмущений. Распределение скорости элементов жидкости, проходящих через поперечное сечение ближе к входу в трубку, меняется вдоль трубки. У самого входа все элементы жидкости движутся с одинаковой скоростью, и профиль скорости однородный, или плоский. Однако та часть жидкости, которая соприкасается со стенкой трубки, полностью останавливается из-за прилипания на стенке (разд. 4.3). Немедленно устанавливается градиент скорости между неподвижной жидкостью у стенки и соседними элементами жидкости в ядре потока. По мере продвижения
Рис. 5.5. При стационарном течении изменение профиля скорости с расстоянием вдоль трубки отражает увеличение толщины пограничного слоя, которая на расстоянии к от входа равна 6. Профиль скорости, вначале плоский, постепенно изменяется и на большом расстоянии от входа становится параболическим.
жидкости вдоль трубки вязкость все в большей степени видоизменяет начальный плоский профиль скорости, как это показано на рис. 5.5. Исходно высокий градиент скорости у стенки становится меньше, а сдвиг охватывает все большую часть ядра потока. Следует иметь в виду, что в то же самое время центральная часть потока ускоряется, с тем чтобы объемный расход через любое сечение оставался постоянным. Градиент скорости, который сначала был заметен только около стенки, начинает проявляться на все больших расстояниях от нее. В конечном счете скорость становится неодинаковой по всему поперечному сечению трубки: она максимальна на оси и постепенно уменьшается по направлению к стенкам. Профиль скорости принимает вид параболы, устанавливается пуазейлевское течение. Когда этот полностью развитый профиль достигнут, он уже не меняется дальше вниз по течению.
