Механика кровообращения - Каро К.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.4. Жидкость течет в направлении х над плоской стенкой (z = 0), причем скорость и прямо пропорциональна расстоянию г от стенки (т. е. градиент скорости du/dz постоянен). На верхнюю поверхность Ai элемента среды действует тангенциальное напряжение [idu/dz, направленное вперед по потоку; иижняя поверхность Л2 испытывает такое же по величине тангенциальное напряжение, направленное назад. Напряжение, действующее на стенку (оио направлено вперед), имеет ту же величину.
/idu
dz
его деформации и, следовательно, к движению. В общем случае элемент будет двигаться и вращаться как целое и деформироваться; однако ясно, что деформации могут быть связаны только с системой напряжений, отличных от давления.
Как уже отмечалось, все напряжения, отличные от давления, обязаны своим происхождением вязкости Мы видели (разд. 2.4), что при перемещении соприкасающихся твердых поверхностей друг относительно друга возникает противодействующая движе-нию сила трения. Аналогично при движении жидкости, сопровождающемся местной деформацией ее элементарных объемов, возникают вязкие напряжения, которые стремятся воспрепятствовать деформации. Абсолютная величина вязких напряжений зависит от скорости деформации. Например, тело, перемещающееся с большой скоростью в жидкости, вызывает более быструю деформацию ее элементов, чем тело, движущееся медленно. Поэтому и возникающие вязкие напряжения в первом случае больше, и такое тело испытывает большее сопротивление. Почти во всех обычных жидкостях напряжения прямо пропорциональны скорости деформации. Полное математическое описание подобной взаимо* связи для любых течений было бы здесь неуместно, но существует один тип течения, представленный на рис. 4.4, для которого эта зависимость чрезвычайно проста. При таком течении все элементы жидкости движутся в одном направлении (параллельно оси х) со скоростью и, пропорциональной координате z (ось г
перпендикулярна направлению движения среды). В этом случае вязкое напряжение на поверхности элемента, лежащей в плоскости с данным z (поверхности Ах или Л2 на рис. 4.4), является тангенциальным, направлено вдоль оси х и абсолютная величина его пропорциональна градиенту скорости (скорости изменения и вдоль оси z) в данной точке. Другими словами, напряжение на поверхности Аь направленное вдоль оси х, равно
(4-4)
где ц — константа, называемая коэффициентом вязкости (или часто просто вязкостью) данной жидкости. Напряжение на поверхности А2 направлено в противоположную сторону и такое же по абсолютной величине. Поскольку напряжение равно силе на единицу поверхности, а градиент скорости — это величина, обратная времени и измеряемая в с-1, то из уравнения (4.4) следует, что вязкость ц измеряется в кг-м_1-с_1. Тангенциальное напряжение подобного типа обычно называют сдвиговым напряжением, или напряжением сдвига, так как оно связано с движением, при котором соседние слои жидкости скользят (сдвигаются) один относительно другого. Градиент скорости в жидкости иногда называют скоростью сдвига').
Жидкости, в которых напряжение всюду прямо пропорционально местной скорости сдвига, т. е. жидкости, обладающие постоянной вязкостью, называются ньютоновскими. Сюда могут быть отнесены многие обычные среды, как то: воздух, вода, глицерин, ртуть и т. д. Однако нередко встречаются жидкости, в частности такие, в которых растворены крупные молекулы (например, белки), с вязкостью, зависящей от скорости сдвига. Имеются также вещества (подобные крему), которые начинают течь, только если напряжение сдвига становится выше определенной критической величины (предельного напряжения сдвига), а при меньших напряжениях ведут себя как упругие тела. Есть и вещества (подобные простой оконной замазке), которые при длительно поддерживаемых невысоких тангенциальных напряжениях обладают текучестью (примером может служить деформация замазки, ле-
‘) Рассматривая элемент жидкости (рнс. 4.4) в два близких момента времени t, t', нетрудно подсчитать, что за малый интервал Дt — f — t первоначально вертикальная грань наклонится на малый угол в« (щ—u^At/Az, где и-2, щ — значения скорости на поверхностях А2, Ль Az— расстояние между ними. Отсюда, переходя к пределу при At н Az, стремящихся к нулю, виднм, что скорость сдвиговой деформации (т. е. скорость изменения 0 во времени) в точности равна (для данного течения!) градиенту скорости du/dz. Это замечание связывает формулу (4.4) с ранее высказанным утверждением о пропорциональности вязких напряжений скоростям сдвига. В общем случае градиент скорости и скорость сдвига — разные величины, но для некоторых течений их численные значения совпадают. Применительно к формулам типа (4.4) необходимо пользоваться для du/dz термином «скорости сдвига». — Прим. ред.
жащей на ровной поверхности, под действием собственного веса) и вместе с тем при кратковременных больших напряжениях проявляют свойства упругого тела (шарик из такого материала может подпрыгивать и даже разбиваться при ударе молотком). Все эти жидкости являются неньютоновскими; в гл. 10 мы узнаем, что в определенном диапазоне напряжений и скоростей сдвига кровь также является неньютоновской жидкостью: она обладает предельным напряжением сдвига, а ее вязкость зависит от скорости сдвига. В крупных артериях следствия этих факторов столь незначительны, что кровь можно считать ньютоновской жидкостью и описание ее движения может быть упрощено; при описании движения крови в микрососудах подобно упрощение невозможно.
