Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
образом, интеграл по z в уравнении (14.10) обратится в нуль везде, кроме
этих плоскостей.
Точка спиральной линии смещается на Р при каждом повороте на 2х по углу
ф. Следовательно, координата z связана с шагом спирали простым
соотношением z = Рф/2т. Поэтому произведение zZ в уравнении (14.10) можно
выразить через ф:
zZ = (Рф/2л){п/Р) = пф/2п (14.11)
Единственное интегрирование, остающееся теперь в уравнении (14.10), - это
интегрирование по ф:
FC(R, ф, п/Р) = Jo2" e2niri,R со5,ф"ф)+"ф(1ф (14-12)
С первого взгляда может показаться, что такое интегрирование - задача
неразрешимая, но, оказывается, интеграл (14.12) можно связать с функцией
Бесселя. Это не столь уж удивительно: функции Бесселя часто встречаются
при решении задач в цилиндрических координатах. Можно воспользоваться
следующим равенством:
J"(x) = (\/2т") eix cos у+1пЧу (14.13)
где Jn - функция Бесселя первого рода. Когда мы введем в (14.12) замену у
= ф - ф и х = 2irrhR (не обращая внимания на постоянные множители 2тг,
которые меняют только модуль величины Fc, и учитывая, что <" = еШ1г/2),
то в результате получим, что структурный фактор спирали есть
FC(R, ф, п Р) = Jn{2nrhR)eim + "/2) (14.14)
Таким образом, у непрерывной спирали с радиусом rh и шагом Р структурным
фактором является набор функций Бесселя, каждая из которых определена на
слоевой плоскости Z = п/Р обратного пространства. Заметим, что амплитуда
рассеяния Jп радиальносимметрична. Она не зависит ни от ф, ни от ф; от
угла зависит только фаза.
КРЕСТООБРАЗНАЯ КАРТИНА РАССЕЯНИЯ ОТ СПИРАЛЬНОЙ ЛИНИИ
Если бы нашим объектом служила одиночная непрерывная спираль, измеряемая
интенсивность рассеяния, согласно уравнению (14.14), равнялась бы
IC{R, п/Р) = F*FC = J2n(2nrhR) (14.15)
На рис. 14.4 представлен вид этой функции при различных л от 0 до 7.
Можно показать, что J2_n = J2, a J2(-R) = J2(R).
Рентгеновские данные для волокон обычно получают, когда волокно
ориентировано так, что ось Z вертикальна, а ось R горизонтальна. В этом
случае наблюдается ряд равноотстоящих горизонтальных слоевых плоскостей
(в сечении - линий). Расстояние между ними в обратном пространстве равно
1/Р, что позволяет определить Р.
На каждой слоевой линии наблюдается ряд максимумов интенсивности.
Величина каждого нз этих максимумов падает с ростом R. Кроме того,
положение первого и наиболее интенсивного максимума последовательно
сдвигается к ббльшим значениям/? с ростом л.
ДРУГИЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ РАССЕЯНИЕ И ДИФРАКЦИЮ
411
0,2
0,2
0,2
0,2
7^0,2
0,4
0,2
РИС. 14.4. Бесселевы функции, из которых может складываться картина
рентгеновского рассеяния от спиралей. Показаны J"(2irrhR) для п от 0 до
7. Обратите внимание на последовательный сдвиг первого максимума н
уменьшение его интенсивности по мере роста я. (Fraser R.D.B., MacRae Т.Р.
Conformation in Fibrous Proteins and Related Synthetic Polypeptides, New
York, Academic Press, 1973.)
2тггьЛ
Таким образом, характерной геометрической особенностью картины дифракции
является то, что она напоминает косой крест: х(рис. 14.5Л). По мере того
как п становится очень большим, ветви креста приближаются к прямым
линиям, которые образуют угол 6 с осью Z. Угол 6 определяется предельным
соотношением: S = lim arctg (P/2irrh). Таким
П - оо
образом, из геометрии дифракционной картины от спирали можно сразу
получить ее шаг и радиус.
СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР ТОЧЕЧНОЙ СПИРАЛИ
Результаты, рассмотренные до сих пор, относятся к спирали с непрерывной
электронной плотностью. Для того чтобы рассмотреть спираль из отдельных
остатков, расположенных на расстоянии А друг от друга в направлении z,
можно воспользоваться уравнением (14.5).
Прежде всего нужно вычислить структурный фактор Fu для ряда параллельных
плоскостей, перпендикулярных z и разделенных расстоянием А. Это легко
сделать, если вспомнить, что фурье-преобразованием ряда равноотстоящих
точек с характерным вектором а между ними является ряд плоскостей,
перпендикулярных а и отстоящих друг от друга на 1 /а. Из взаимности
прямого и обратного фурье-преобразований сразу следует, что струк-
ГЛАВА 14
fl
1/А
1-+R
z
i I
r
/А
[
L-"-R
I/с
Г л
РИС. 14.5. Рентгеновское рассеяние от спирали, параллельной оси z в
прямом пространстве, но равномерно прокрученной по углу ф. А. Картина
распределения интенсивности от непрерывной спирали с шагом Р. Угол 5 -
функция величины P/rh (см. текст). Б. Фурье-преобразование ряда
параллельных плоскостей, ориентированных так, как показано на рис. 14.2,
и разделенных расстоянием И = = Р/3. В. Интенсивность рассеяния от
точечной спиральной решетки (такой, как показано на рис. 14.2, В) с тремя
точками на виток. Данная картина получена в результате свертки картин А и
Б. Г. Фурье-преобразованне ряда параллельных плоскостей, разделенных
расстоянием А = (5/18)Р, так что 18 точек решетки (остатков) приходится
на 5 витков. Д. Картина дифракции от точечной спирали, у которой на виток
приходится 3,6 остатка. Такая картина получается в результате свертки
