Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
оставаться постоянной.
Попытаемся выяснить физический смысл свертки. Для этого обратимся к рис.
13.13, Л . Функция g переменной и идентична функции g(x), т.е. той же
функции переменной х. Функция g(u ¦- х) - это та же функция переменной и,
но смещенная вдоль оси и на расстояние*. Отсюда следует, что при
свертывании с функцией/(*) функция ^(ц) помешается последовательно во все
точки оси и, но каждый раз, когда смещение равно *, к ней добавляется
весовой множитель /(*). Все взвешенные таким образом значения функции g
складываются или интегрируются и дают результат, называемый сверткой.
Физически свертка fg(u) означает, что мы выстраиваем последовательные
изображения g, взвешенные при помощи / Оказывается, что результат не
изменится, если мы скажем, что выстраиваем изображения/, взвешенные при
помощи g. Чтобы убедиться в этом, положим в выражении (13.40) и - х = х'.
Тогда dx' = -dx и (учитывая обращение пределов интегрирования) получаем
fg(u) = - J*~J dx'f(u - x')g(x) =g/(u) (13.41)
Предположим теперь, что функция g есть дельта-функция Дирака й(х - а),
т.е. g(*) = 6(х - а). Тогдаg(u - *) = 6[(и - *)-я] = б[(м - я)-*] и
свертка
Ч Если в этом месте у вас нет абсолютной ясности, прервите чтение.
Внимательно изучите рис. 13.13 и попытайтесь произвести свертку
простейших на ваш взгляд функций.
РЕНТГЕНОВСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
339
*
РИС. 13.13. Иллюстрация свертки. А. Две функции, / и g, и их свертка,
рассчитанная по (13.40). Б. Две функции, / (дерево) и g (решетка, набор
дельта-функций), и их свертка.
/5М = dxf(x)S[(u - а) - х] = Ди - а) (13.42)
просто сдвигает функцию/ на расстояние а вдоль оси и. Все эти результаты
справедливы и в трехмерном случае, когда свертка записывается в виде
j^(u) = Jdr/(r)g(u - г) (13.43)
Если g - трехмерная дельта-функция й(Г - р), то свертка (13.43) просто
сдвигает функцию /(г) вдоль вектора р в системе координат вектора U.
Дельта-функциями можно воспользоваться для описания решетки. Достаточно
определить, где находится начало каждой элементарной ячейки. В одномерном
случае таким началом может быть любое целое кратное вектора а; это
ограничивает значения х, определяющие начало любой ячейки, величиной иа.
Соответствующей функцией будет 6(х - па). Тогда бесконечную одномерную
решетку можно задать функцией
22"
340
.L(x) = ? S(x - na) (13.44)
П= - JO
Эта функция описывает все узлы одномерной решетки.
Предположим теперь, что распределение электронной плотности внутри одной
ячейки есть р (х). Чтобы описать весь кристалл, необходимо "повторить"
эту электронную плотность в каждой элементарной ячейке. Исходя из свойств
свертки, описанных выше, это достигается следующим образом:
^ оо оо оо
Кристалл = pL(и) = j p(.x)dx ? 6[(и - па)-х] = ? р(и - ло).(13.45)
Свертка Lp просто встраивает "изображение" структуры в каждую
элементарную ячейку (рис. 13.13, Б).
В случае трех измерений бесконечную решетку можно представить как
ОС. ОО ОО
L(r) = Y X X S(r - т - mb - рс) (13.46)
я - - се т - - оо р = - сс
где п, т и р - любые целые числа. Электронная плотность внутри одной
ячейки есть р (г), а для всего кристалла имеем
оо оо оо
Кристалл = р2(и) = ^ XX ~ па ~ тЪ - Рс) (13.47)
п= - оо m =
Таким образом, любой кристалл можно представить как свертку содержимого
элементарной ячейки с решеткой.
ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СВЕРТКИ
Свертка обладает свойством, которое делает ее особенно полезной при
описании рентгеновского рассеяния. Пусть /(г) и#(г) - функции, являющиеся
соответственно фурье-преобразованиями функций F(S) и G(S):
/(г) = J"k dSF(S)e~ 2niS ¦r (13.48a)
g(r) = <iSG(S)e_2,lis'r
и, следовательно, F и G - обратные преобразования функций/ и g, т.е.
f"s>(13 49а)
G(S) = drg(r)e2nis ' (13.496)
Тогда свертку двух исходных функций можно записать в виде
34)
Ми) = J"K */(r)g(u - r) =
= J*e dr dSF(S)e 2mS r c/S'G(S>~2,t''s' (13.50)
Меняя порядок интегрирования, получаем
7g(u) = Г°° rfSF(S) Г dS'G(S')e~2n's' u Г* dre2niiS'^S) ' (13.51)
J - 00 J - со J - CO
Третий интеграл есть не что иное, как дельта-функция Дирака 6 (S' - S)
(см. Дополнение 13.3). Поэтому результатом второго интегрирования будет
просто подынтегральная функция при S' = S, и выражение (13.51) примет вид
jg(u) = dSF{S)G(S)e~2*iS u (13.52)
'Легко видеть, что выражение (13.52) есть фурье-преобразование
произведения двух функций F(S)hO(S). Это очень важный результат. Фурье-
преобразованием произведения двух функций F и С является свертка фурье-
образов fug.
Применив фурье-преобразование к выражению (13.52), можно получить второй
важный
результат, а именно:
du e2,tiS fg(u) = du dSF(S)G(S)e_2,tiS' V*iS''u =
= f" dSF(S)G(S) f" due2ni{S~&) u (13.53)
J - CO J - 00
Однако второй интеграл есть лельта-функция Дирака 6(S' - S). Таким
образом,
du e2"'s' Ufg(u) = F(S')G(S) (13.54)
Фурье-образом свертки является произведение фурье-образов входящих в нее
функций.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЕРТОК ПРИ РАСЧЕТЕ КАРТИН РЕНТГЕНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим одномерный кристалл, состоящий из молекул. Внутри каждой
