Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
спиралей.
Сумма в выражении (13.31) есть просто сумма геометрической прогрессии с
первым членом e~2*N,s-at знаменателем e2lr,s а и последним членом e2(tm)NS
а. Эта сумма равна 1(1 - г(tm))/( 1 - г), где г - знаменатель прогрессии, т
- число ее членов, a t - ее первый члеи. Используя это выражение,
преобразуем (13.31) к виду
g - 2iziNS ¦ а/^ g2ni(2N + 1 )S - а\
Есумм (S) = J (S) j piniS7* (13.32)
РЕНТГЕНОВСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
327
Упростим полученное выражение, умножая числитель и знаменатель на е *'s а
:
Чтобы получить окончательное выражение (13.33), мы воспользовались тем,
что е ± " = cos х ± i sin х. Суммарная интенсивность рассеяния от цепочки
атомов равна
На рис. 13.6,5 схематически показана зависимость этой функции от размера
(длины) цепочки атомов. Можно видеть, что по мере увеличения N
интенсивность стремится к О всюду, за исключением тех точек, где S - а -
целое число. Множителем S • а в (13.34) определяется относительная
ориентация объекта и детектора. Отметим, что интенсивность рассеяния
максимальна при S • а = 0. Это имеет место тогда, когда вектор S лежит в
плоскости, перпендикулярной оси цепочки.
ДИСКРЕТНАЯ КАРТИНА ДИФРАКЦИИ ОТ ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИ
Полезно рассмотреть, как ведет себя выражение (13.33) при увеличении N.
Для большинства значений S • а значение sin(7rS • а) лежит между 0,1 и
1,0 или между -0,1 и - 1,0. При этом sin[(2N + l)7rS • а] сильно
осциллирует между 0 и 1. Поэтому значения частного в правой части (13.33)
попадают в область приблизительно между - 10 и 10 независимо от N. Но что
получается, когда sin(jr S • а) приближается к О? Легче всего проверить
это, устремляя S • а к нулю. Если воспользоваться разложением синуса в
ряд: sin х = х - х3/3!+ ...и оставить только первый член в этом
разложении прих - 0, то частное в (13.33) превратится в (2N + 1)(ttS ¦
a)/(7rS • а) = 2N + 1.
В кристаллической одномерной молекулярной решетке N может достигать 10б
(или больше). Поэтому структурный фактор становится очень большим всякий
раз, как только sin(irS ¦ а) приближается к нулю. Это происходит во всех
случаях, когда величина S ¦ а приближается к целому числу. По сравнению с
острым пиком рассеяния при целом S ¦ а все остальные значения F(S)
пренебрежимо малы. Следовательно, интерференционная функция для линейной
цепочки (ряда) точек (атомов) приводит к дискретной картине рассеяния. (В
Дополнении 13.4 иллюстрируются подобные эффекты при оптической
дифракции.) Вообще рассеяние может наблюдаться только для определенных
относительных ориентаций объекта и детектора рентгеновских лучей. Этот
результат носит название условия Лауэ:
Вектор а характеризует данную одномерную кристаллическую решетку и ее
ориентацию в пространстве. Векрор S зависит от геометрии эксперимента.
Наблюдаемое рассеяние зависит только от S ¦ а и интенсивно только при
выполнении условия (13.35). Геометрический смысл этого иллюстрирует рис.
13.7. Величина S ¦ а есть проекция S на а. Пусть а фиксирован. Тогда
условие S • а = 0 означает, что S может быть любым вектором,
перпендикулярным а и проходящим через начало координат (рис. 13.7И).
Усло-
е
ni(2N+ 1)S а
,ni(2N t US ¦ а
FcyMM(S)=/(S)
e
- e
f(S) sinfr27V + 1)7tS' *0
sm(7rS ¦ a)
(13.33)
/cvmmIS) = |fcvMm(S)|2 = [/(S)]2
(13.34)
S • a = h, где h = 0, +1, + 2,...
(13.35)
328
ГЛАВА 13
РИС. 13.7. Условия Лауэ для одномерной цепочки рассеивающих центров.
Векторы рассеяния изображены сплошными линиями. А. Случай S ¦ а = 0. Б.
Случай S • а = 1.
вне S • а = 1 означает, что S может быть любым вектором, проведенным из
начала координат в какую-либо точку на плоскости, перпендикулярной а и
отстоящей на расстояние l/а от начала координат (рис. 13.7,Б). Например,
если S параллельно а, то условие S • а = 1 означает, что ISI = 1/1 а I.
Если обобщить зто рассмотрение, станет ясно, что целые значения S ¦ а
определяют ряд параллельных плоскостей. Расстояние между этими
плоскостями равно l/а (рис. 13.8, А). Набор параллельных плоскостей в
обратном пространстве определяет все те значения вектора рассеяния, для
которых можно измерить интенсивность. Дальнейшие ограничения появляются,
если постоянна длина волны падающего рентгеновского излучения и
фиксировано его направление sD.
Как только выбрано направление s0, различные направления S, в которых
наблюдается рассеяние, определяются строго ограниченным набором возможных
векторов рассеяния S. Из рис. 13.3,Б видно, что вектор S, идущий из
начала координат обратного про-
w А
странства, всегда оканчивается в точке, лежащей на оси вектора S и
отстоящей от его начала на расстояние 1/Х. Геометрическим местом точек,
отстоящих от начала векторов S на расстояние 1/Х, будет сфера с радиусом
1/Х и центром в начале s. Таким образом, все возможные векторы рассеяния
S, начинающиеся в начале координат, должны достигать поверхности сферы
радиуса 1/Х (рис. 13.8,Z>). Эта сфера называется сферой отражения. Она
всегда касательна к плоскости^ проведенной через начало координат
