Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
/М= у [gfSVL]^^
л = - оо
Прежде чем заменять сумму интегралом, заметим, что по определению S
интервалу AS соответствует величина (2жЛ.)Ап. Но при суммировании Ап = 1,
так что приращение dS в интеграле эквивалентно величине 2тоГ в сумме.
Таким образом,
fix) = (L/2n) [g(S)/L>2"ls* dS = (1 /2л) g(S)e2n's* dS №)
Выражения А и Б описывают пару фурье-образов, или фурье-трансформант,
которые позволяют вычислить f(x), если известноg(S), и наоборот. Они
особенно интересны тем, чтох и S имеют взаи-мообратные размерности.
Например, еслих - расстояние, то S - обратное расстояние. Вместо
коэффициента (1/2тг) в выражении Б часто в обоих выражениях А и Б пишут
перед интегралами (1 /\/2тг).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ Предположим теперь, что функция
/-определена в декартовой системе координат с осями х,у иг. При
фиксированных у и г функцию Дх, у, г) можно разложить в ряд Фурье по
экспонентам e2l"SjcX,
РЕНТГЕНОВСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
317
и ее Фурье-трансформантой будет (по аналогии с выражением А)
е 2niS*xf(x, у, z) dx
Это выражение в свою очередь можно разложить по экспонентам с 2r, S>'y
при фиксированном г и, наконец, по экспонентам elT,Sz-z. В результате
получим трехмерный фурье-образ вида
g(S"S,,,Sz) = dze-2lziS'z J_"m dye~2riS^ dxe~2niS-xf(x, y,z)
Если Sx, S и Sz - компоненты вектора S, ax, у, г - компоненты вектора г,
то трехмерное преобразование Фурье записывается очень компактно:
g(S) = dre~2niS tf(r)
Подобно этому аналог выражения Б будет иметь вид
/(г) = (1/2л)3 J_"m dSe2"'S rg(S)
ПРИМЕР СВОЙСТВ ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Для иллюстрации свойств уравнений (13.7) и (13.8) выведем второе
уравнение из первого. Запишем интеграл /(г') = jE(S) e_2?r,s г dS в
некоторой новой системе координат г'. Подставив F(S) из (13.7), находим
/(г') = JdSe~2"'s г Jc/rp(r)?'2'"s г (13.9)
Изменив порядок интегрирования, получим
/(r') = Jdrp(r) Jc/Se_2*iS r'e2'liS'r = Jc/rp(r) JdSe211-5 -,r_ r'>
(13.10)
Интеграл no dS в правой части выражения (13.10) обладает одним очень
необычным свойством. Как явствует из дополнения 13.3 - это не что иное,
как 6-функция Дирака:
5(r-r') = $dSe2*is(ПЛ1)
Дополнение 13.3 ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
Покажем, что приведенный ниже интеграл является представлением одномерной
дельта-функции Дирака:
ё(х - х') = J0^ e2n'tx~x 'sdS
Полученный результат легко обобщается на случай трех измерений. Если зто
дельта-функция, она должна подчиняться следующим трем условиям.
318
ГЛАВА 13
Во-первых, еслих' = х, то<5(х - х') = оо. Очевидно, что это условие
выполняется, ибо все экспоненты в интеграле при х = х' равны единице,
следовательно, интеграл бесконечен.
Во-вторых, при х * х' Ь(х - х') = 0. То, что интеграл подчиняется и этому
требованию, не столь очевидно. Показать это можно, если учесть, что
комплексная экспонента - периодическая функция, непрерывно осциллирующая
по всему пространству от - 1 до 1. С каждым положительным "всплеском"
этой функции соседствует точно такой же отрицательный "всплеск". Площади
под ними взаимно уничтожаются, так что при х Ф х' интервал действительно
обращается в нуль. В-третьих, если Ь < х' < а, то
Jb° dx ё(х - х') = 1
Пусть с = х' + е, а Ь = х' - е. Тогда площадь под дельта-
функцией равна
(x +edx Г e2nilx~x)s dS = Г" dS {х;+с dxe(tm)*-* *
Jx -г J-оо со Jx - e
= f" e~2nixSdS r+Ce2(tm)sdx
J 00 JX'-C
= J" e~ 2,Ii*'s[( 1 /2itiS)(e2ni{x + E)S - dS
= J* e~ 2mxS[(e27,'xS/2niS)2is'm 2л eS] dS = (l/л) [(sin 2neS)/S] dS = 1,
поскольку [(sin x)/x] dx = J°x [(sin x)/x] dx = л/2
b
Если x' не лежит между а и b, интеграл j(5(x - x' )dx равен нулю, так как
функция везде равна
а
нулю. Таким образом, мы видим, что первоначальный интеграл удовлетворяет
всем требованиям и действительно есть дельта-функция Дирака.
Самое важное свойство дельта-функции - способность изменять область
определения другой функции, т.е.
dxf(x)6(x - х') = Дх)
Мы можем показать это, выбирая малый интервал (х' - е,х' + е) около точки
х' и разбивая весь интеграл на три части:
J* J* dxf{x)6(x - х') + dxf(x)6(x - х') + J"+? dxf(x)6(x - х')
Первый и третий интегралы равны нулю для любой конечной функции /(х),
поскольку 6(х - х') = 0 прих ф х'. Второй интеграл можно оценить, если
выбрать е настолько малым, что /(х) = Дх'); тогда этот интеграл равен
Дх') dxh(x - х') = Дх)
Для этой функции характерно следующее. Если г ^ г', то б (г - г') = 0.
Если г Ф г', то б (г - г') = оо. Однако |б(г - r')rfr= I и [для некоторой
произвольной функции #(г)] j#(r)6(r - r')dr = #(ГЛ), если точка г = Г
попадает в область интегрирования. Таким образом, б(г - г') просто
вырезает значение функции#(г) при г = г'. Уравнение (13.10) принимает вид
/(г') = р(г'). Учитывая, что гиг' - эквивалентные переменные, мы видим,
что найденный результат совпадает с выражением (13.8) с точностью до
константы V.
РЕНТГЕНОВСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
319
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРНОГО ФАКТОРА
К сожалению, в рентгеноструктурном анализе не существует способа прямого
