Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Кантон Ч. -> "Биофизическая химия. Том 2" -> 160

Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.

Кантон Ч., Шиммер П. Биофизическая химия. Том 2 — М.: Мир, 1984. — 496 c.
Скачать (прямая ссылка): biofizicheskayahimiya1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 242 >> Следующая

структурный фактор равен просто сумме большого числа членов в
соответствии с уравнением
(13.6). Для непрерывного электронного распределения сумма заменяется
интегралом
Интегрирование проводится по всему объему образца. Уравнение (13.7) -
единственное основное уравнение, которое описывает полностью все
рентгеновское рассеяние и дифракцию. Если известно распределение
электронной плотности в образце р(г), можно вычис-
Результат, изображенный на рис. 13.2, А, содержит одно серьезное
упрощение. В действительности все рассеянные волны испытывают фазовый
сдвиг, равный половине периода, по отношению к падающему излучению. Мы
можем не обращать на это внимания, так как фазовый сдвиг одинаков для
всех рассеянных волн.
РАССЕЯНИЕ КАК ФУНКЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА
F(S) = p(r)e2niS r dr
(13.6)
(13.7)
РЕНТГЕНОВСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
315
лить структурный фактор и с его помощью найти ожидаемую картину
рентгеновского рассеяния для любой геометрии эксперимента.
ОПИСАНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Интеграл (13.7) по форме эквивалентен преобразованию Фурье, причем он
обладает очень удобными свойствами (Дополнение 13.2). Отметим, что за
пределами образца р(г) = 0, поэтому интегрирование в (13.7) можно
распространить на все пространство без изменения значения интеграла.
Таким образом, физический смысл уравнения (13.7) состоит в том, что
структурный фактор есть фурье-образ объекта.
Поскольку F(S) есть фурье-образ р(г), должен существовать второй интеграл
Фурье, связывающий обе величины. Это обратное преобразование Фурье:
р(г) = (1 V) J(/Se-2"is 'F(S) (13.8)
Здесь интеграл берется по всему обратному пространству, V - постоянная,
куда входят (2тг)3 и другие константы, которые компенсируют различия в
единицах объема реального пространства г и обратного пространства S. В
дальнейшем мы иногда будем пренебрегать константой V.
Уравнение (13.8) означает, что если значения F(S) измерены или вычислены
во всем обратном пространстве, то можно просто рассчитать распределение
электронной плотности в объекте. Таким образом, уравнения (13.7) и (13.8)
образуют соотношение, позволяющее свободно переводить друг в друга
структурные факторы и электронные плотности при условии, что они известны
по всему пространству. В принципе это похоже на соотношение Кронига-
Крамерса (см. гл. 8.), которое позволяет взаимообращать данные КД и ДОВ.
Дополнение 13.2
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РЯДОМ ФУРЬЕ
Рассмотрим произвольную функцию/(6), заданную на отрезке - тг ^ в ^7г. Ее
можно представить в виде суммы ряда функций с известными свойствами. Для
подобного разложения пригодны лишь определенные системы функций, и на
отрезке [- тг, тг] такую систему образуют синусы и косинусы:
ОС
ДО) = X а" cos(nO) + а'" sin(n0)
я = 0
где п принимает все целые положительные значения. Это разложение
называется рядом Фурье. Коэффициенты апп а' п - величины, зависящие от
вида функции /(в).
Как показано в Дополнении 13.1, синусы и косинусы можно представить в
виде комплексных экспонент. Поэтому приведенный выше ряд Фурье можно
переписать в виде
Дв)= ? Ь"е"°
п= - СО
где индекс п пробегает как положительные, так и отрицательные значения,
поскольку это необходимо для описания всех синусов и косинусов.
Коэффициенты Ьп можно найти простым способом, если воспользоваться
следующим результатом.
316
ГЛАВА 13
Для любых двух целых чисел тип имеем
е'пее-'теdO = J"n ei{" m,e = [l,i(n - m)](e,,n_ra)" - <r,(n_m)'t) =
= [2!(n - тУ\ sin(n - m)n = 0 , если n Ф m
= 2ж , если n = m
где результат для n = m можно получить на основании предельного перехода
sin жх - жх. Сле-
х - О
довательно, чтобы найти определенное Ьт, надо выполнить интегрирование:
71
<1'2л) Г" f(0)e~imede = (V2n) Г" de У b"e",ee im0 = bm
Отметим, что интегрирование ведется по всему отрезку, на котором
определена функция f(8). Часто оказывается удобным иметь дело не с
отрезком [- тг, тг], а с произвольной областью [ - L/2, L/2]. В этом
случае можно ввести новую переменнуюх = L6/2x, так что при в = ж
имеем
х = Г/2, а при в = -ж х = -L/2. Подставляя эту переменную
в написанные выше выражения и
учитывая, что dx = (L/2ж)dв, получаем
/(*)= У Ъ"е2(tm)^
п= - X
b" = (l/L) J^2 e-2(tm)'<Lf(x)dx
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ Функция f(x) определяется при
всех значениях х, тогда как система коэффициентов Ьп представляет собой
бесконечный набор чисел, который должен быть затабулирован. Поэтому
удобнее иайти аналог ряда Фурье, в котором коэффициенты Ьп были бы
заменены некой функцией, а суммирование заменилось бы интегрированием.
Такое представление называется преобразованием Фурье, когда область
определения функции простирается от - оо до + оо.
Определим новую непрерывную переменную S = 2тгл/Г и новую непрерывную
функцию g(S) = Lbn. Используя их, можно преобразовать выражение для Ьп к
виду
?(S) = e-2'iS*f(x)dx (А)
в пределе при L - оо. Тогда разложение Дх) запишется следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed