Биофизическая химия. Том 2 - Кантон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
времени t = 0 равна с0, то уравнение (11.15) показывает, что концентрация
в области плато в некоторый более поздний момент времени t2 упадет до
значения Ср/е2"^, что эквивалентно уравнению (11.9).
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАММА ДЛЯ БОЛЕЕ РЕАЛИСТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ
Решение уравнения Ламма в аналитической форме либо численными методами
удалось получить лишь для некоторых предельных случаев (Дополнение 11.1).
Результаты показывают, что граница и область плато действительно
существуют до тех пор, пока влияние седиментационных сил велико по
сравнению с влиянием диффузии. В этих более реалистических случаях
граница не является предельно резкой, а имеет некоторую ширину, зависящую
от D. Здесь также концентрация в области плато постепенно уменьшается
(рис. 11.6, Б). Отметим, что диффузионные силы ощутимы лишь вблизи
границы, где имеется градиент концентрации. Поэтому даже при наличии
диффузии разумно предположить, что плато сохраняется.
Дополнение 11.1 РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАММА
Фудзита (Fujita, 1975) разбирает многочисленные попытки решить уравнение
Ламма. Арчибальд получил в 1938 г. точное аналитическое решение уравнения
(11.8) при постоянныхs и D. Однако коэффициенты настолько сложны, что
вычисления по формулам Арчибальда даже с помощью численных методов
слишком трудоемки и не получили широкого распространения при оценке
результатов седиментационных опытов.
Факсён в 1929 г. показал, что решение уравнения (11.8) можно представить
в значительно более простом виде для одного частного случая граничных
условий. Вместо обычной секториальной ячейки он рассматривал бесконечный
сектор: хм = 0 и хд = оо. Его решение можно использовать для оценки
результатов седиментационных опытов в предельном случае начальных
моментов времени (cAf 1) и слабой диффузии (2D/so>2x <s 1). Полученные
Факсёном результаты в обшем совпадают с тем, что показано на рис. 11.6,Б.
Фудзите в 1956 г. удалось распространить решение Факсёна на случай, когда
D - постоянная величина, as связан с концентрацией зависимостью вида5 =
s0(l - Ksc).
Однако все эти решения настолько громоздки, что экспериментаторы
обыкновенно предпочитают пользоваться простыми методами, которые
позволяют определить s, если известна концентрация хотя бы в некоторых
участках ячейки. В тексте дано подробное описание такого подхода.
Исходя из этого и считая 5 постоянным, мы можем очень просто решить
уравнение
(11.8) в области плато. Концентрация растворенного вещества в области
плато (сп) не зависит от х. Поэтому как dcjdx, так и d2cu/dx2 равны нулю
в любой момент времени, и уравнение (11.8) приобретает вид
dcjdl = -2cnsu2 (11.16)
Решение этого дифференциального уравнения тривиально, если принять в
качестве начального условия условие однородности раствора по всей ячейке
с концентрацией макромолекул с0 в нулевой момент времени:
УЛЬТРАЦЕНТРИФУГИРОВАНИЕ
233
Cn(t) = с0е 2s"2' (11.17)
Это выражение совпадает с выражением для с2(х, t) в (11.9). Таким
образом, диффузия не влияет на скорость, с которой уменьшается во времени
концентрация в области плато.
Пользуясь уравнением (11.17), мы можем найти коэффициент седиментации s
из графика зависимости In сп от t. Прямые измерения концентрации в
ультрацентрифуге не всегда, однако, доступны. Шлирен-оптика, например,
регистрирует дс2/дх, а не с2- Альтернативный подход при определении 5
опирается на уравнение (11.3), которое можно переписать как 5 = ы2тп
х)/Л]. Если бы мы могли следить за какой-нибудь одной частицей в области
плато, то из графика зависимости логарифма ее координаты в ячейке от
времени можно было бы найти s. В том случае, когда диффузией можно
пренебречь, между растворителем и раствором наблюдается резкая граница, а
скорости смещения границы и движения частиц в области плато одинаковы. Из
уравнения (11.10) находим эту скорость: dx/dt = so)2x, что позволяет
определять s по формуле
s = co_2[rf(ln v) т/г] (11.18)
В реальном случае конечная ширина границы означает, что молекулы с
разными координатами в области границы движутся с неодинаковыми массовыми
скоростями. Отнюдь не очевидно, какую следует взять точку на границе,
чтобы ее перемещение соответствовало невозмущенному диффузией движению
молекул. Часто берут точку наибольшей крутизны, что соответствует
максимальному значению дс2/дх. Ее выбирают из-за удобства регистрации,
однако это неправильный выбор, хотя, как правило, он приводит лишь к
незначительным ошибкам.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СЕДИМЕНТАЦИИ ПО ПОЛОЖЕНИЮ ГРАНИЦЫ
Нам нужно найти такую точку на границе, которая движется со скоростью,
равной скорости смещения х. Тогда можно подставить координату этой точки
в уравнение (11.18) и вычислить s. На рис. 11.8 схематически показано,
как ее найти. Выберем произвольную точку хп в области плато. По мере
смещения границы общая масса растворенного вещества, заключенная между хм
и хп, будет уменьшаться. Измеряя шобщ, мы узнаем, какое количество
растворенного вещества миновало хп. Эта величина никак не связана с
