Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рв (ж, У) = Р (ж, у) * F-1 [5 (Л, Ф)] = Е(тф [г cos (Ф —
- 4f)l - {N - 1) Q, (9.14)
где Ф = 2лnIN, п = 1,2, . . ., N.
В этом и состоит ошибка, присущая этому методу. Чтобы увидеть, чем реконструируемая плотность рв отличается от истинной плотности р, нужно рассмотреть функцию F~l [<S (R, Ф)]. Функция S (Л, Ф) является функцией с единичным значением на линиях Ф = 2лn/N, п = 1, 2, . . ., N, для Л ^ Лт и поэтому имеет форму 2N одинаково расположенных спиц в колесе с длиной каждой спицы, равной Лт. Фурье-преобразование такой функции определяется интегралом от некоторой совокупности бесселевых функций
Пт
F_1 [.S’ (Л, Ф)] = ^ [/„ (2яЛг) + 2/Vn (2яЛг) ехр /?гФ] dR,
(9.15)
где п = ±2N, ±4./V. . .
Так как все бесселевы функции /0 (2лRr) имеют максимум при г = О для различных Л, нулевой порядок бесселевой функции в выражении (9.15) для F-1 [5, (Л, Ф)] будет также иметь максимальную величину при г = 0, и поэтому свертка этого члена с истинной плотностью р (х, у) в уравнении (9.14) довольно близка к р (х, у). При бесконечном числе проекций в функции выборки S (Л, Ф) отсутствуют азимутальные вариации, и вместо уравнения (9.15) получаем
Sr (г) = /0 (2 яЛг), где Sr (г) — фурье-преобразование кольца радиуса R в обратном
пространстве. Таким образом, плотность свертывается с F 1 [.?'(/?)], где
®т
F~'[S'(R)] = J SR{r)dR.
О
В пределе при бесконечном разрешении
вс
F-1 [5' (Д)] = 5 Л (2яЯг) = 1/2яг. (9.16)
о
Таким образом, даже при бесконечном числе проекций метод реконструкции обратным проектированием не будет восстанавливать истинной плотности р (г, Ф), а будет реконструировать р (г, Ф), свернутую с 1/г. Если исследуемая структура имеет остроконечное распределение плотности, то пики будут восстановлены, так что метод все же даст примерную реконструкцию.
Причина, по которой метод обратного проектирования не может дать действительной реконструкции, состоит в том, что функция S (R, Ф) производит выборку преобразования объекта в неправильной пропорции для различных радиусов в обратном пространстве. Реконструкция обратным проектированием поэтому эквивалентна фурье-синтезу объекта из его фурье-преобразований со всеми членами, взвешенными пропорционально величине, обратной радиусу в фурье-пространстве.
Модификацию описанного выше способа с целью устранения присущих ему ошибок предложили Б. К. Вайнштейн (модифицированный синтез проектирующих функций [10]) и Рамачандран (метод свертки [11]). Суть модификации сводится к следующему. Если выборочную функцию изменить так, чтобы она меняла свое значение в соответствии с радиусом обратного пространства, то можно осуществить верную реконструкцию, точность которой ограничена лишь тем, что используется конечное число проекций. Другими словами, все компоненты фурье-преобразования будут включены в реконструкцию с правильным весом, если используемая функция выборки будет иметь вид RS (R, Ф). Фурье-синтез, использующий эту взвешенную выборочную функцию, будет реконструировать истинную структуру. Метод обратного проектирования эквивалентен фурье-синтезу, использующему преобразование с функцией выборки S (R, Ф). Можно показать, что в реальном пространстве возможен другой процесс, который эквивалентен фурье-синтезу, использующему преобразование с функцией выборки RS (R, Ф).
Согласно теореме о спектре свертки перемножение в обратном пространстве эквивалентно свертке в реальном пространстве. Поэтому реконструируемая плотность может быть восстановлена
точно, если каждая из проекций предварительно свернута со стандартной функцией, а затем суммирование таких модифицированных проекций осуществляется так, как указывалось выше.
Оценка точности восстановления будет зависеть от числа проекций, характера вычислительных операций (степени усреднения, вида интерполяции) и достоверности данных при экспериментальном определении проекций. Восстановление ведется на дискретной сетке, состоящей из т х т узлов с шагом а ;> Dim. Условие однозначного определения значения плотности р в каждом из т узлов: р т. Таким образом, а > Dip. Кроме того, согласно теореме Котельникова шаг дискретизации определяется наивысшей пространственной частотой объекта (V2 о)х, V2 соу — в декартовых или V2 Rm — в полярных координатах). Наивысшая пространственная частота примерно определяется размером d минимальной неоднородности объекта. Поэтому разрешение в восстановленной структуре в этом случае будет
Оценить предельное разрешение можно и при переходе в обратное пространство. F [р (х, г/)] приобретает нулевые значения выше граничной пространственной частоты Rm ж 1 Id. Кроме того, шаг выборки в обратном пространстве при восстановлении структуры р размером D должен быть 1 ID. При заполнении обратного пространства центральными сечениями образуется фигура с радиально расходящимися лучами (типа спиц колеса). При удалении от центра наступает момент, когда расстояние между соседними спицами становится больше шага разбиения 1 ID. Граничный случай при 1 ID ^ nRmlp ж nldp и определяет разрешение
