Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
где gn и Gn — взаимные трансформанты Бесселя.
Поскольку исходной информацией является изменение почернения фотографической пластинки, эта непрерывная величина (степень приближения не учитывает зернистой структуры фотослоя) для расчетов должна быть представлена в цифровой форме. Таким образом, каждая из проекций в результате измерений представляется в виде дискретного набора величин а ("фг, ?ф.) =
-- аI (па/т), где а - сторона квадрата, на котором ведется восстановление, большая или равная размеру восстанавливаемой структуры. Шаг дискретизации а/т выбирается согласно теореме
Рис. 104. Проекция двумерного сечения трехмерного объекта
Котельникова, распространяемой на случай двумерного изображения с ограниченным спектром. Такое изображение полностью определяется т независимыми значениями интенсивности в точках дискретных отсчетов, лежащих в узлах прямоугольной решетки с шагом V2 о)хгаэх по оси а: и V-i^max по оси у, при условии, что спектр пространственных частот изображения равен нулю вне прямоугольника, описываемого в частотной плоскости неравенствами
| ©X | ©X maxi | ©у | ^ ©ушах-
Число отсчетов, приходящихся на отрезок длиной х (или у), равно 2x(dх max- Общее число отсчетов в изображении (число степеней свободы) равно произведению площади изображения на «площадь», занимаемую спектром в частотной плоскости:
ТП — 45(0Х шах©утах- (^-9)
В принципе, возможна реконструкция трехмерной структуры по проекциям и без перехода в обратное пространство. Одно из решений состоит в том, что каждая из проекций в дискретном представлении может рассматриваться как сумма значений плотности в одном из узлов решетки, на которой ведется восстановление.
Таким образом, могут быть составлены линейные уравнения вида
Os (па/т) = 2р7-г (9.10)
с числом неизвестных в каждом уравнении т. В общем случае, если имеется р проекций (i = р), то число известных рт, а неизвестных значений р^г есть т2. Условие однозначного определения каждого из значений р;-, (т. е. реконструкция одного из сечений структуры): рт > т2 или р > т. Решение уравнений вида (9.10) ведется обращением матриц. Для случая, когда величины р могут приобретать лишь два значения - 0 или 1, разработаны алгоритмы восстановления, действующие по принципу перебора.
В реальном пространстве справедлив и другой метод трехмерной реконструкции, получивший название метода восстановления обратным проектированием или синтезом проектирующих функций [8]. Идеи метода иллюстрируется на рис. 105, где показано двумерное восстановление функции р (х, у) (в полярных координатах р (г, Ф) из последовательности N проекций стф (х'), расположенных через равные углы 2n/N. Для каждой точки (г, Ф) в структуре все проектируемые плотности o^lx' = г cos (Ф - Ч**)] суммируются. Постоянный фон, возникающий при суммировании, может вычитаться. Однако в таком варианте методу присущи некоторые ошибки.
Поскольку фурье-преобразование представляет собой линейную операцию, то
2\r cos (ф - Y)] = F-1 [2 F (XY) б (У'*)],
(9.11)
где 41 = 2лп/N, п = 1,2, . .
Левая часть уравнения (9.11) соответствует операции «обратного проектирования» плотностей проекции, как показано на
рис. 105. Такая операция эквивалентна фурье-синтезу с использованием центральных сечений, причем каждое из сечений соответствует фурье-преоб-разованию одной из проекций [правая часть уравнения(9.11)]. Оператор F-1 представляет обратное фурье-преобразование. Стф (ж') рассматривается как двумерная функция; предполагается, что изменения в направлении уф отсутствуют. F (X, У) б (Уф) представляет собой ли нейное сечение двумерного преобразования F (X, У) по линии, проходящей через начало координат под углом г); к оси X. Будем полагать, что спектр функции ограничен, т. е. выше некоторой пространственной частоты, обусловленной в обратном пространстве радиусом Rm, фурье-компоненты всех проекций равны нулю, т. е.
F (X, Y) б (Уф) = 0 при | *ф | > Rm.
Несложно показать, что результат синтеза представляется в виде
F~' [%F(X, У) б (Уф,)] = р(х, y)*F'
Рис. 105. Восстановление «обратным проектированием»
X
X [-S’ (R, Ф)] (N — 1) F~l [F (0, 0)],
(9.12)
причем S (R, Ф) — б-функция единичного веса при углах Ф = 2лn/N, п = 1,2, . . ., N, R, Ф - обратные полярные коор' динаты,
б (Xcos Ф + Y sin Ф) при (R ^ Нт;
S(R, Ф) = Ф = 2nn/JV; п = 1,., N).
, 0 при (R > Rm)
Символ * означает операцию свертки
+ ПО
[F (0, 0)] = J J р (х, у) dx dy = Q. (9.13)
—'чо
Величина Q определяет объем объекта в трехмерном случае, или площадь — в двумерном. ?2 может быть найдена из проекций
-j-oo
Q = ^ a,il(x')dx'.
— ."V
Этот член появляется из-за того, что фурье-преобразования всех N проекций дают вклад в начале координат X = О, Y =0. Подставляя уравнения (9.11) и (9.13) в уравнение (9.12), получим, что реконструируемая плотность рв, определенная методом обратного проектирования, будет:
