Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
9.2. Математические основы объемной реконструкции
Клуг и Де Розье [6] предложили использовать обратное Фурье пространство для математического восстановления структуры, исследуемой в электронном микроскопе. В электронном микроскопе формируется изображение, которое при определенных условиях может рассматриваться как проекция трехмерной структуры на плоскость, т. е. как интеграл от функции, описывающей распределение плотности в объеме по одной из переменных, совпадающей с направлением просвечивания. Если распределение плотности в трехмерном объекте описывается функцией р (х, у, z), то изображения, формируемые при разных направлениях просвечи-
вания, представляют собой двумерные проекции трехмерной структуры на плоскость. Причем распределение плотности в про^ екциях всякий раз пропорционально интегралу от трехмерной
функции. Так, проекция а (х, у) вдоль направления z пропорцио-
4-00
нальна выражению ^ р (x,y,z)dz. Преобразование Фурье от та-
—ос
кой проекции представляет собой центральное сечение трехмерного обратного пространства Ф (X, Y, О). Поскольку распределение плотности в проекции известно, а преобразование Фурье выполняется численным методом, то в центральном сечении обратного пространства будут известны и амплитуды, и фазы. Если теперь объект в электронном микроскопе повернуть на некоторый угол, то электронно-микроскопическое изображение будет представлять собой другую проекцию той же структуры. Преобразование Фурье такой проекции опять будет центральным сечением обратного пространства, но с другим угловым положением. Некоторый набор проекций объекта, снятых в разных ракурсах, при переходе в обратное пространство даст набор центральных сечений. На рис. 103 дана условная схема трехмерной реконструкции объекта по проекциям. Таким образом, имея достаточное количество проекций, можно заполнить обратное пространство пересекающимися по одной прямой плоскостями. Произведя интерполяцию между ними и выполнив обратное преобразование Фурье, можно восстановить распределение плотности в сечениях объекта, плоскость которых совпадает с направлениями просвечивания. Другими словами, можно смоделировать внутреннюю часть структуры, которую не удается увидеть на отдельных электронномикроскопических снимках, но информация о которой содержится в их наборе.
Если съемка проекции производится относительно фиксированной оси так, что все направления проектирования перпендикулярны к ней, или если сам объект имеет поворотную или винтовую ось симметрии, трехмерная задача сводится к двумерной. В этом случае для каждого из углов проектирования г|) вдоль направления i/ф двумерные сечения функции р (х, у, z) представляются в виде одномерных проекций а (г|), х,<?) на прямую х^, перпендикулярную i/ф (рис. 104).
Очевидно, что для несимметричного объекта проекции, отличающиеся на угол я, равны и обладают зеркальной симметрией:
а (ф, Жф) = a (i|) + я, — Жф).
Для объектов с четными осями симметрии информативна лишь половина проекций, вторая половина повторяет первую, т. е.
а (гр, x.v) = а (ф, — жф).
а 'о я °
g йц ¦в*
S3"
и
а>
О
Рн
и
2 о
S о
я «
“ S'
<я я Я о) * ё S 3
? с 5 *•
5 <и ч та « sr
^ 5
*&<
V; CJ
ft о*
ГГ 4>
С к
Я О *& . и се Я
я-
о и
cd н и а>
?
VO
° у н
я s И
та
Я-
&
А
Ь
О
И
О
и
я
а
:Я
О
и
Рн
ф
S
и
ф
Рн
Н
Я-
о
Рн
К
с*
О
3
йч
Я
о*
с
.? я
?ч в: ° Я * Е Л S
4 я » $ § 2 2 га s S
® л
I i
5 2
« {? К О „ ев М Я
В общем случае для объекта с поворотной осью симметрия к-го порядка
а (г|>, ?ф) = а [-ф + к (2n/N), агф+*(2я/лг>], (9.6)
где к = 1, 2, . . ., N.
Для объекта с винтовой осью симметрии SP'q различные проекции получаются на различных уровнях по вертикальной оси:
а (г|), Д-ф j z) = a [i|) + к (2л/р),
z + к (с/р) 1, (9.7)
где к — 1, 2, . . ., р.
Таким образом, одна проекция симметричного объекта уже содержит информацию, необходимую для восстановления. Такая проекция в случае поворотной симметрии эквивалентна р = N (для нечетных N), р — N12 (для четных N) проекциям элементарной несимметричной группировки, размножением которой формируется изображение структуры. При наличии ^винтовой симметрии одна проекция эквивалентна pN (для нечетных N) и pNI2 (для четных N) проекциям, т. е. в ряде случаев можно избежать трудоемкой операции съемки объекта т разных ориентациях в электронном микроскопе.
Для структур со спиральной симметрией прямое и обратное преобразования в цилиндрических координатах будут иметь вид:
Ф (R,V,Z) = $Gn(RZ) exp [m (W + л/2],
П
p (r, Ij), z) = 2 f ?n (r, Z) exp (in Y) exp (2nizZ) dZ,
71 v
