Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Главное условие — это сохранение пропорциональности между входом и выходом системы. При изменении входного воздействия в некоторое количество раз выходной отклик системы должен измениться в такое же количество раз. Если функция /вх {х, у) воспроизводится на выходе функцией /вых (ж, у), то а/вх(?> у) должна воспроизводиться функцией а/ВЫх (х, у) ¦ Таким образом, первое условие требует, чтобы график, иллюстрирующий зависимость выхода оптической системы от ее входа, был прямой линией. Соблюдение этого условия является следствием выполнения принципа суперпозиции в линейной системе. Следует учесть, что регистрирующая система может быть линейной лишь относительно интенсивностей (квадратов амплитуд) светового потока (так как любой фотодетектор является квадратичным), в то время как оптическая система может быть линейной как относительно амплитуд (при когерентном освещении), так и относительно интенсивностей (при некогерентпом освещении).
Второе условие линейности, именуемое условием инвариантности, сводится к тому, что выходная функция не должна менять своей формы при изменении начала отсчета. Для оптической системы это условие предполагает постоянство изображения объекта при его перемещении в поле зрения, т. е. если /вх (х, у) воспроизводится на выходе /ВЫх (х, у), то /пх (х + г, у + s) дает на выходе /вых (х + г, у + .s'). Это условие выполнимо не для всех оптических систем вследствие зависимости величины аберраций от угловых координат. Инвариантность соблюдается в системах, где аберрации достаточно мало изменяются по полю, т. е. в изопланатических системах, или внутри некоторых зон оптических систем (такие зоны называются изопланарными).
Распределение интенсивности в изображении микрообъекта, которое может рассматриватся как выходная функция линейной
оптической системы, представляется интегралом свертки
+*>
1«ъ{х,у)=-- 55 I^{xi,yi)K(x — xv,y — y{)dxydyu (9.1)
— ,х>
где /об (жц Ух) — распределение интенсивности в плоскости объекта; hu(x — хг, у — уг) — аппаратная функция рассеяния. (В радиотехнике аналогичная функция носит название импульсной реакции.) Аппаратная функция описывает распределение света в плоскости изображения (х, у) при наличии в плоскости объекта (xi, ух) точечного источника. Под точечным источником подразумевается входное воздействие, интенсивность которого описывается дельта-функцией:
6(Zi,2/i) = (° ДЛЯ Xl'Vl ^ ^sb(x1yv)dx1dyv = 1.
( ЭО для х1 = у1 = 0,
Аппаратная функция, или отклик системы на точечный источник, полностью характеризует поведение системы.
Интегральная форма зависимости (9.1) получена на основе принципа суперпозиции путем суммирования элементарных откликов. Условие инвариантности требует, чтобы характер функции рассеяния не изменялся при перемещении точечного источника в плоскости объекта.
Однако кроме аберраций на аппаратную функцию влияет также положение сигнала во входной плоскости вследствие появления эффекта виньетирования (ограничения пучков), связанного с конечной апертурой используемых линз. Это ограничивает не только положение, но и размеры анализируемых объектов на входе.
Таким образом, процесс формирования изображения объекта в микроскопической системе может быть описан в виде двух последовательных процессов дифракции (вначале на входном зрачке, затем на выходном). Каждый из этих этапов формирования изображения формально описывается преобразованием Фурье (соответственно прямым и обратным). Степень приближения зависит от того, насколько точно система, формирующая изображение, удовлетворяет условиям линейности. Такое описание, естественно, никак не связывается с характером излучения и справедливо как для оптического, так и для любого другого (электронного или рентгеновского) диапазона.
Согласно прямому преобразованию Фурье двумерный спектр изображения объекта определяется так:
4-00
?из (иж=(0„), 55 ^из [х, У) exp I— / (содХ + сovy)]dxdy. (9.2)
—ОС
Обратное преобразование:
4- 30
/из (*, У) = (1/4я2) 5 5 ^из К- «у) ехР [/ К* -f Му2/)] daxсЦ,.
— 50
(9.3)
Если учитывать влияние системы формирования изображения, то спектр изображения можно представить в виде произведения спектра объекта и частотной характеристики оптической системы:
Sп. 1 (®.и ©к) = SoG (С0Л, ©у) Н (0)v, 0),у).
Н (мЛ., о>1,), в свою очередь, представляет собой преобразование Фурье от аппаратной функции системы.
Выражение (9.3) можно переписать в виде
4-00
^из(®> У)_~ (1/4я2) ^ SoQ (ыж, (Оу)Н (С0Х, ъ->у) X
—вс
X ехр [/ (со^г + ©„у)] dto^coy. (9.4)
Таким образом, распределение интенсивностей в выходном изображении является функцией двумерного спектра исследуемого объекта и двумерной частотной характеристики используемой системы.
