Математическая биофизика клетки - Иваницкий Г.Р.
Скачать (прямая ссылка):
L = L ((1 + С2(Т2 + с4сг4)/(1 + (Т2 + <ОГ> (1.105)
а = а (1 + СГ2 -|- <0/(1 “Ь С2°2 “Ь С4<0 модель (1.102) при ст2 > 0 приводится к виду
— / 1 CjSl Сз^з \п
5i — Х53 ^ \ 1 + 5l -f 53 / /
1 + 3l + <33 / , , т / 1 + с131 + cSs3 \п\
\1 + Ь\ l+Si + Зз ) I
(1.106)
аналогичному модели односубстратной обратимой реакции (1.87) со всеми ее свойствами: различными типами кинетических зависимостей v (стх) или v (ст3) при различных значениях концентрации остальных субстратов, продуктной активацией, субстратным угнетением, различной чувствительностью прямой и обратной реакций к действию изо- и аллостерических метаболитов.
В зтой главе были рассмотрены математические модели, описывающие зависимости скоростей ферментативных реакций от концентраций реактантов и модификаторов в квазистационарном состоянии. При этом основное внимание было уделено очень важной для моделирования полиферментных систем теме — выводу и анализу уравнений, описывающих квазистационарные скорости сложных ферментативных реакций, т. е. реакций с большим числом реактантов, катализируемых олигомерными ферментами. Такие ферменты имеют множество идентичных или неидентичных активных центров, а их протомеры способны совершать конформа-
ционные перестройки, изменяющие каталитическую активность фермента, а иногда и его агрегатное состояние. Выведенные уравнения для сложных реакций записаны в такой форме, которая позволяет по известным (или выводимым с помощью приведенного в этой главе метода графов) выражениям, описывающим механизм действия одиночного активного центра, легко получить уравнение квазистационарной скорости для многоцентрового фермента.
В следующей главе мы используем выведенные выше уравнения для анализа поведения ферментативных реакций в нестационарных проточных условиях — в условиях, характерных для живой клетки.
Г лава втора я
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОТОЧНЫХ ФЕРМЕНТАТИВНЫХ РЕАКЦИЙ
2.1. Общие методы исследования системы
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
Динамика ферментативных реакций, полиферментных систем, процессов мембранного транспорта и любых других биологических процессов описывается системами нелинейных дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда пространственной протяженностью моделируемой системы можно пренебречь, ее динамика описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Современные методы численного анализа и применение мощных электронно-вычислительных машин позволяют получить при заданных начальных условиях решение систем нелинейных дифференциальных уравнений очень высокого порядка, содержащих десятки и даже сотни независимых переменных. Однако, решая систему при различных начальных условиях, удается найти далеко не все качественно различные типы динамического поведения, поскольку всегда существует вероятность того, что при других начальных условиях поведение системы будет совершенно иным. Качественные же методы наиболее полно разработаны только для систем двух дифференциальных уравнений. Очень часто, однако, многие математические модели ферментативных реакций, полиферментных и мембранных систем удается свести именно к системам дифференциальных уравнений второго порядка. Обычно после нормализации переменных и параметров такая модель второго
порядка принимает вид:
(2.1)
где ? и у — безразмерные переменные, е — безразмерный масштабный множитель, который иногда оказывается функцией переменных. Нормализацию, т. е. выбор единиц измерения переменных, стремятся провести таким образом, чтобы в некоторой области определения переменных х ж у, представляющей наибольший интерес для моделирования, переменные и правые части имели бы одинаковые порядки величин: х ~ у, | Р (х, у) | ~ | Q (х, у) |.
После такой нормировки относительное изменение переменных определяется параметром е:
_dУ_ _ Q (х, У) ^ _1_ /2 2)
йх е Р (х, у) в ' '
Подробное изложение методов качественного анализа моделей второго порядка можно найти в классических работах математической школы А. А. Андронова [65 — 67].
Чтобы не отсылать читателя слишком часто к этим работам, ниже коротко описаны те из качественных методов анализа, которые используются в последующих разделах.
Для изображения движений представляющей или фазовой точки системы (2.1) пользуются плоскостью (х, у), которая называется фазовой плоскостью. Стационарные состояния системы
(2.1) определяются из условий
и являются особыми точками фазовой плоскости. Значения переменных х = Ж и у — у, удовлетворяющие системе уравнений (2.3), называются стационарными. В особых точках фазовой плоскости не определен угол наклона ср = arc tg (dyldx) касательных к фазовым траекториям — траекториям, описываемым представляющей точкой с изменением времени t при различных начальных значениях переменных хну. Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портрет системы (2.1). На фазовой плоскости уравнения (2.3) определяют две линии — изоклины горизонтальных (Q (х> У) — 0, dyldx = 0) и вертикальных (Р (х, у) = 0, dyldx —
