Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Только что описанная задача была обобщена Т. П. Марьяновичем на тот случай, когда в системе имеются, помимо приборов работающих, также приборы, находящиеся в резерве разного порядка [2]. Понятно, что эта задача имеет самое непосредственное отношение к вопросам теории надежности.
Второе направление обобщений касается выбора оптимальных режимов обслуживания.
Имеется п приборов разной производительности: среднее время обслуживания требования для них соответственно равно в,, at, ..., ап. Приборы расположены в определенном порядке, и требования потока поступают на свободный прибор с наименьшим номером в только что определенном порядке. Требование, заставшее все прибооы в работе, теряется. Спрашивается, как надо перенумеровать поиборы, чтобы вероятность потери была минимальной? Ответ таков: приборы следует нумеровать так, чтобы с ростом номера уменьшалась их производительность.
Следующая задача в том же круге идей была рассмотрена Г. П. Климовым. Имеется группа однотипных приборов и заданного объема накопитель, в котором требования могут ожидать освобождения приборов. Требования, попавшие в систему, когда накопитель полой, теряются. На систему обслуживания поступает пуассоновский поток с параметром X(t). Спрашивается, как выбрать X (/). чтобы итог работы системы за время (О, Т) был максимален. Итог оцени-
вается функционалом ц.). Длительность обслуживания
случайна и имеет показательное распределение: 1—е~&.
Таким итогом работы могут быть общая производитель* ность системы, количество потерь и пр.
Оказывается, что экстремум достигается на классе ступенчатых функций X(t). В частности, для получения максимальной производительности оборудования следует выбрать сначала X(t) возможно большим, а затем сделать минимально допустимым. Этим достигается быстрое заполнение накопителя. Наличие требований в накопителе обеспечивает бесперебойную работу механизмов системы.
Системы с ожиданием. Пожалуй, максимальное число работ, относящихся к теории массового обслуживания, посвящено изучению образования очередей в системах с ожиданием. Распределение длительности ожидания, условия образования увеличивающейся очереди, распределение длительности непрерывной занятости прибора—вот примерный перечень вопросов, которым было уделено много внимания. Особенно интересовал исследователей случай одного обслуживающего прибора. Мы знаем, что для пуассоновского потока и произвольного распределения длительности обслуживания общие результаты были получены А. Я. Хинчиным. Изящные результаты были получены здесь также Линдли, Л. Такачем, А. Шахбазовым [1] и др. Линдли получил интегральное уравнение для распределения длительности ожидания начала обслуживания в случае одного прибора для произвольного пальмовского потока и произвольного распределения длительности обслуживания. Это интегральное уравнение дало ему возможность заключить, когда очередь будет расти неограничено и когда распределение величины очереди стремится к стационарному состоянию.
Обслуживание одним прибором неординарного потока было предметом исследований Гэйвера [1], Миллера [1] и Шахбазова [1]. А. Шахбазов ввел усложнение, представляющее интерес для теории надежности, а именно: он предположил дополнительно, что прибор, начиная обслуживание требования без предварительного ожидания его освобождения, требует времени на «разогрев».
Киффер и Вольфовиц [1], [2] исследовали обслуживание произвольного пальмовского потока при условии произвольного распределения длительности обслуживания п одинако-
выми приборами. Ими составлены интегральные уравнения задачи, получено условие существования стационарного решения.
Известно, что если интенсивность поступления требований в систему равна средней производительности системы, то длина очереди со временем возрастает неограничено (за исключением тривиального случая регулярного поступления требований, равного длительности обслуживания). Возникает вопрос изучения асимптотического поведения различных характеристик обслуживания. Этот вопрос интересовал многих исследователей. Я приведу здесь результаты И. Н. Коваленко.
Пусть Я—интенсивность входящего потока, х—средняя длительность обслуживания одного требования, число обслуживающих приборов равно единице и q = X,t=1—е, где в>0. Если в—>О, то средняя длительность времени ожидания начала обслуживания будет расти, имея порядок 1/е. Функция распределения длительности ожидания у подчинена такому предельному распределению
где о*— дисперсия длительности обслуживания.
Точно так же, если дисперсия времени обслуживания конечна, то для распределения числа v требований в системе имеет место предельная теорема: при 8—>-0
Большое внимание уделялось последние годы изучению обслуживания с очередью при наличии преимущественных требований. Система обслуживания может быть описана таким образом: имеется k классов требований, каждый из которых образует простейший поток; потоки между собой независимы. Внутри каждого класса обслуживание производится в порядке строгой очередности. Различаются две схемы: обслуживание без прерывания (английский термин — head of the line) и обслуживание с прерыванием (preemtive priority). Предположим, что в некоторый момент времени происходит обслуживание требований 2-го класса и поступает требование класса для первой схемы вновь
