Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть задано множество элементарных событий X, а также о-алгебра его измеримых подмножеств §1х. Случайным потоком с фазовым пространством (X, 91х) называется система случайных величин г) И), определенных на элементах Лс:21х и обладающих следующими двумя свойствами:
1) г|(Л) — абсолютно аддитивная функция множества А;
2) r|(i4) принимает лишь неотрицательные целочисленные значения.
Для примера, если нас интересует изучение потока землетрясений, то указания только момента t наступления землетрясения недостаточно, необходимо дополнительно указать и координаты его эпицентра <р, 0, h — широту, долготу и глубину. Таким образом, в качестве множества X следует принять множество точек (t, <р, 0, й), где 0 <р 2я, О < 6 < я, 0<й<6000 км, 0<t<oo.
Важным частным примером случайного потока является пуассоновский поток. В соответствии с предложенным общим подходом, пуассоновским потокам следует дать такое определение. Пусть г|(.Д) — абсолютно аддитивная, неотрицательная функция множества А, определенная на А ? 91х. Для любой системы Alt At, ..., А„ попарно непересекакмцихся множеств величины тЦД,), гЦД,), ...,г)(Хл) взаимно независимы и для каждого допустимого множества имеют место равенства
Не изменяя известных рассуждений монографии Хинчина, легко доказать, что поток г| (у4) тогда и только тогда определяется равенствами
P{ri (А) = к) = е-Ч ^ I.
(простейший поток), где А,>0 — постоянная, |Л| — мера множества А, когда выполнены условия стационарности, ординарности и отсутствия последействия.
Более того, многие теоремы, доказанные Хинчиным относительно строения потоков и помешенные в настоящей книге, легко переносятся и на приведенное здесь определение потока.
Предельная теорема, вскрывшая одну из существенных причин, в силу которой простейший поток может служить в широких границах хорошим приближением к истинному потоку требований, была предметом исследований ряда ученых. Прежде всего, как я упомянул в примечании к основному тексту (см. стр. 60), Г. А. Ососков обнаружил, что условие Хинчина является не только достаточным, но но сути дела и необходимым.
Позднее И. Б. Погожев заинтересовался вопросом быстроты сближения с пуассоновским распределением в зависимости от числа слагаемых потоков. Для случая одинаково распределенных независимых стационарных потоков он нашел первый член асимптотического разложения по степеням я"1 (работа не опубликована, докладывалась на семинаре по теории массового обслуживания, МГУ, 1961 г.). Более детальное исследование этого вопроса в тех же условиях под влиянием доклада И. Б. Погожева было проведено П. Фран-кеном. Б. И. Григелионис применил к доказательству предельной теоремы Хинчина-Ососкова методы классической теории суммирования. Случай суммирования нестационарных потоков изучен Б. И. Григелиомисом. Им найдены необходимые и достаточные условия сближения суммарного потока с нестационарным пуассоновским; эти условия особенно просты в том случае, когда суммируются потоки типа процессов восстановления. Им же рассмотрен во всей полноте вопрос асимптотического разложения.
В системах с многоступенчатым обслуживанием, когда требование, после того как оно обслужено прибором первой
группы, поступает на прибор второй группы и т. д., интерес представляет не только поток входящих требований, но и те новые потоки, которые образуются требованиями, уже обслуженными приборами первой группы (или же получившими на них отказ), а также второй и последующими группами приборов. С такой ситуацией приходится иметь дело во многих реальных проблемах, в частности при расчете автоматических линий. К сожалению, это направление исследований находится совсем в зачаточном состоянии. Кроме результата Пальма, сформулированного и доказанного в монографии А. Я. Хинчина «Математические методы теории массового обслуживания» (стр. 107, § 28), можно отметить несколько статей Н. В. Яровицкого [1], [2]. Н. В. Яровицкий подверг систематическому изучению поток выходящих после обслуживания требований и ввел в рассмотрение односвязно зависимые потоки. Мы направляем читателя за определением потоков этого типа и их свойствами к указанным работам автора.
Во многих случаях первоначальный поток, проходя через ряд последовательных установок, постепенно теряет часть своих требований. Так обстоит дело на автоматической линии, когда после каждой операции происходит отбраковка обрабатываемых изделий. Подобная же картина наблюдается при исправлении опечаток несколькими корректорами. Поток опечаток при этом редеет. Перед исследователями неоднократно возникал вопрос относительно свойств таких редеющих потоков. Одно из предположений состояло в том, что при весьма общих условиях, касающихся процесса разряжения, поток требований должен подходить все ближе и ближе к семейству пуассоновских. Мы сформулируем сейчас теорему, полученную в этом направлении А. Реньи [1].
Пусть поток А подвергнут следующей операции: каждое требование потока остается с вероятностью р и выбрасывается из потока с вероятностью q— 1 — р\ одновременно изменяется масштаб, причем за единицу масштаба времени принимается величина 1/ф. Обозначим эту операцию через Тр.
