Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 23

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 71 >> Следующая

этого перехода, благодаря чему и имеет место формула
(18.1).
Формула (18.1), иногда называемая уравнением Чэпмана — Колмогорова, лежит в основании всех исследований о процессах Маркова; в нашем изложении она также будет играть значительную роль.
Еслн в начальный момент 0 система находится в данном состоянии I, то вероятность застать ее в момент <>0 в состоянии k равна Pik (t). Мы можем, однако, сделать относительно начального момента допущение более общего характера: в момент 0 мы можем считать известным не состояние системы, а лишь начальные вероятности РДО) (Osg/sSrt) различных состояний; этот общий случай, конечно, сводится к упомянутому нами частному случаю, когда из чисел РДО) какое-нибудь одно равно единице (а остальные равны нулю). Вероятность Рл (/) застать систему в момент t в состоянии k по формуле полной вероятности равна
р*(<)= jsp/l°)ptttf); (18.2)
эта вероятность зависит как от t, так и от начальных данных Р; (0) (0 i sg я).
Если в уравнении (18.1) помножить обе части на Р,(0) и просуммировать по / от 0 до я, то в силу (18.2) мы получим
Р* (<, + 0=2 Р, (*,) Р,* (*,) (0 < * < я). (18.3)
г=#
Задача Эрланга, которой мы посвятим настоящую главу состоит в отыскании вероятности застать систему в том нли ином данном состоянии. В свете изложенного нами выше такая постановка вопроса требует пояснений; случайный процесс N (/) нестационарен, вероятности
p{N(0 = /s} = P*(0 (0<*<я)
меняются с течением времени и, кроме того, зависят еще от начальных данных, т. е. от чисел Р,(0) (0^/^я); представляется поэтому, что искомые в задаче Эрланга вероятности Р*(0 могут быть определены лишь при данных t и Р,(0) (Osg/^л). В приложениях, однако, обычно считают
возможным говорить о вероятности рк застать систему в состоянии k, независимо от выбранного момента времени и от начальных данных. Чтобы теоретически оправдать такую практику, можно попытаться установить, что процесс N (t) при t—*-оо безгранично приближается к некоторому стационарному процессу, не зависящему от начальных данных; говоря более конкретно, надо установить, что вероятности Р*(0 при t—> оо стремятся к некоторым постоянным числам рк (0 я?1г я?п), не зависящим от начальных данных. Эти числа рк мы тогда, естественно, и принимаем за искомые в задаче Эрланга вероятности застать систему в том или другом определенном состоянии, ибо число рк, с одной стороны, не зависит от начальных данных задачи, а с другой— становится сколь угодно близким к реальной вероятности Р*(0, если процесс продолжается достаточно долгое время.
Итак, нашей задачей является показать, что при t—юо функции Р*(0 стремятся к числам рк{0*?/г*^п), не зависящим от начальных данных. Разумеется, при этом числа рк должны быть нами найдены. Для практики особо важное значение имеет число рп — вероятность застать все линии занятыми. Это есть вероятность потери (отказа), являющаяся для систем с потерями важнейшим показателем качества обслуживания.
Мы прежде всего редуцируем поставленную нами задачу к другой, более удобной для применения уравнения Нэпмана— Колмогорова, с помощью следующего вспомогательного предложения.
Лемма. Для того чтобы вероятности Р*(0 при t—> оо стремились к не зависящим от начальных данных числам рк (0 < ? < л), необходимо и достаточно, чтобы к тем же пределам стремились соответственно переходные вероятности Plk(l)(0<k>^n) при любом значении i.
Доказательство. Оба утверждения леммы почти очевидны в силу (18.2).
1. Пусть Рk(t)—*pk (t—юо, Osgke^n), где рк не зависит от начальных данных; выбирая тогда РД0)=1, р,(0) = 0 (1ф1), мы в силу (18.2) имеем Pk{t)—Pik(t), и, следовательно, Prt (/) —*¦ рк (t —* оо, О «S / < я, 0 < к < я).
2. Пусть, обратно, Р,*(<)—*рЛ (*—*<», 0</'<л, О<?<я); тогда в силу (18.2) при любом выборе вероят-
н остей РДО) мы имеем
Р*(0—^j^PУ—*00’
так как
^§Р/(0)=1.
В силу этой леммы наша ближайшая задача сводится к доказательству того, что при t—> оо переходные вероятности Р/Л(0 (0^i^я, O^k*?п) стремятся к пределамрк, не зависящим от L
§ 19. Теорема Маркова
Задачу, упомянутую в конце предыдущего параграфа, можно было бы пытаться решить, найдя выражения переходных вероятностей Р/Л(0 (0^/^я, 0e^ke^n) для
специального интересующего нас процесса N(t) и стремясь затем анализом этих выражений установить существование нужных нам пределов и одновременно найти эти пределы. Однако мы предпочтем другой путь, при котором трудная задача отыскания функций Р,*(0 может быть обойдена. В настоящем параграфе мы, не пытаясь найти переходные вероятности Р«(0 и их пределы, установим только самый факт существования этих пределов; такой путь становится возможным потому, что эта теорема существования представляет собой свойство очень широкого класса процессов Маркова, отнюдь не являясь характеристикой нашего специального процесса N (f). После того как это будет сделано, мы в следующем параграфе, опираясь на доказанное уже существование пределов, сможем найти эти пределы для специально интересующего нас процесса, снова минуя явные выражения функций
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed