Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/> + *)=/,(<*)/« (О, то при показательном распределении
(0.
откуда
Это означает, что при показательном распределении длительности разговоров закон распределения оставшейся части разговора не зависит от его «возраста», т. е. от того, сколько времени он уже длится. Именно это свойство показательного распределения в большинстве случаев и упрощает производимые расчеты. Вместе с тем оно же заставляет думать, что в практических ситуациях гипотеза показательного распределения длительности разговоров вряд ли может рассчитывать на точное осуществление и в лучшем случае способна служить лишь более или менее хорошим приближением к действительности.
Глава 6
ЗАДАЧА ЭРЛАНГА ДЛЯ КОНЕЧНОГО ПУЧКА
§ 18. Постановка задачи
В этой главе мы будем иметь дело с полнодоступным пучком (упорядоченным или нет — безразлично) из п линий, на который поступает простейший поток вызовов с параметром X; мы допустим, что длительность разговоров подчиняется показательному закону распределения 1 — е~х. Так как в случае общего показательного закона 1—е~$х средняя дли-
тельиость разговора равна 1/{3, то выбор 0 = 1 означает просто, что мы принимаем эту среднюю длительность разговора за единицу времени, что, конечно, ни в какой мере не ограничивает общности исследования.
Если известно, что в некоторый момент 0 было занято ровно k линий данного пучка (0^4^я), то число N(t) занятых линий в какой-либо последующий момент t есть случайная величина, значение которой определяется рядом случайных факторов: моментами окончания тех k разговоров, которые Ьедутся в момент 0, моментами поступления новых вызовов между 0 и < и длинами тех разговоров, которые ведутся этими вызовами. Число N (t) представляет собой, таким образом, однопараметрическое семейство случайных величин, или, как говорят, случайный процесс. Этот процесс обладает, при сделанных нами предпосылках, одним важным свойством, позволяющим применить к его изучению хорошо разработанные методы.
Пусть Л/(/,) = /, т. е. в момент занято I линий. Тогда последующее течение процесса в вероятностном смысле независимо от всего, что происходило до момента tt. В самом деле, это дальнейшее течение, как мы уже отметили, однозначно определяется следующими тремя факторами:
1. Моментами окончания тех i разговоров, которые ведутся в момент /#.
2. Моментами появления новых вызовов после tt.
3. Длительностями разговоров для вызовов, упомянутых в 2.
Но легко видеть, что ни один из этих трех случайных факторов не зависит от того, что происходило до момента tQ. Для фактора 1 это вытекает из принятого нами показательного распределения длительности разговоров, при котором, как мы видели в § 17, длительность остающейся части разговора не зависит от его возраста. Для фактора 2 это следует из того, что поступающий поток вызовов — простейший и, следовательно, не обладает последействием. Наконец, для фактора 3 это очевидно само собой. Таким образом, действительно все три перечисленных фактора не зависят от «прошлого» нашей системы, т. е. от течения процесса до момента а следовательно, не зависит от прошлого и течение процесса после момента tt, ибо оно однозначно определяется указанными тремя факторами.
Таким образом, случайный процесс N(t) обладает следующим свойством: если известно N(tt), то течение процесса после момента <# в вероятностном смысле независимо от его течения до момента tt (коротко: если известно настоящее, то будущее не зависит от прошедшего). Случайные процессы, обладающие этим свойством, называют процессами Маркова.
Если в некоторый момент t занято I линий пучка [т. е. №(/) = /], то мы будем говорить, что в этот момент система находится в «состоянии Ь (< = 0, 1,..., я); всего, таким образом, для системы возможно п-\- 1 различных состояний. Обозначим через Р/А (t) (< > 0, 0 /'< я, 0 к sg л) условную
вероятность того, что система, находившаяся в некоторый момент в состоянии I, по истечении t единиц времени перейдет в состояние k [вероятность N(a-j-<) = fc при условии N(a) = i]. Эти «переходные» вероятности играют основную роль в исследовании процессов Маркова. Очевидно, всегда
П
Р«(*)>0, S Р|*(0=1 (0<|<л, 0<й<л).
fts О
Если <,>0, /,>0, OsS/^я, то имеет место
соотношение
р»«.+*.>— 2 РьМРМ- (’«-I)
Г S Ф
В самом деле, для того чтобы за время перейти из
состояния / в состояние k, система должна сначала перейти за время tx из состояния I в некоторое состояние г, а потом за время tt перейти из состояния г в состояние k, так что соотношение (18. 1) есть результат простого применения формулы полной вероятности. Очень важно отметить, что эта формула имеет место только для процессов Маркова; в самом деле, только для процессов Маркова переходную вероятность Ргк (<,) можно считать независимой от /; если бы наш процесс не был процессом Маркова, то на месте Prk (tt) должна была бы стоять вероятность перехода за время tt из состояния г в состояние к при дополнительном условии, что система предварительно за время tt перешла в состояние г из состояния I. Для процессов же Маркова вероятность Ргк (tt) не зависит от того, что происходило до
