Временная организация клетки. Динамическая теория внутриклеточных регуляторных процессов - Гудвин Б.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия имели определенные значения. Скорее вся взаимодействующая
система должна находиться в определенном параметрическом состоянии.
Теперь рассмотрим еще одну совокупность условий, имеющих отношение к
вопросу о синхронизации в случае сильно взаимодействующих осцилляторов.
Заметим, что если переменные хi и х2 колеблются синхронно и ведут себя,
следовательно, одинаково во всех отношениях, то они должны быть
неотличимы одна от другой. В частности, среднее по времени от
произведения xtx2 должно быть равно средним по времени от х\ и х\. В
нашей статистической механике мы заменяем средние по времени фазовыми
средними, так что должны выполняться следующие соотношения:
Далее, из определения фазового интеграла для xi и хг
/у>2 . _ /у» м . /м2
— ‘*'1^2 — '*'2‘
(83)
оо оо
?Р1Р2= 5 $ e~mnxl+2hlsXlX2+h22X^ dxldx2
PlP2 —
-Pi -P2
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭПИГЕНЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 203
мы имеем тождества
“2 11 ^ZpiP2 1 ^ ZP1P2
Р ZP1P2 Р
1 91°gZP1P2
^2 =
Р 9fe22 ’
1 51°gZPlP2
} (84)
2р dhi
Мы можем исследовать соотношения (83) в пределе при больших и малых р,
исходя из уравнений (60) и (61), определяющих величину ZVlV2 при этих
значениях таландической температуры. Для очень малых 0 имеем
?Zpip2 :
Следовательно,
Р | Н [1/! РТЛиЬю-Ча
3 ^ h22 Л
хух2
2\Н\ Р
кц
2 | Я | Р
' ^-12
2Р1Я1
(85)
Соотношение х\ = дает = h22, но ясно, что два других соотношения не могут
быть удовлетворены из-за положительности всех параметров. Следовательно,
при очень малых 9 захватывание произойти не может. Именно этого и
следовало ожидать, ибо, как мы видели, в пределе при малых 9 осцилляторы
существенно линейны, а захватывание представляет собой нелинейный эффект.
Из полученного результата следует также, что условие кц = h22 не является
достаточным для захватывания, хотя оно, возможно, и определяет какие-то
другие постоянные и симметричные соотношения между двумя переменными хt и
х2? Однако в чем они состоят, мы еще не знаем.
При большой таландической температуре нелинейность системы очень заметна
и можно ожидать, что захватывание будет возможно. В этом пределе (Р очень
мало) мы исполь-
204
ГЛАВА 7
зуем уравнение (61), а именно Z
|Я| arclg /Г
12
'Р1Р2 ~ 2р | н |1/2
Величины (84) теперь равны
1
л.
22
ХХХ2
2(3 Я |!/2 | Я ]1/2 |Я|1/2
hи arctS ' ft12 J
1 f 1 *12
2(3 Я |!/2 ( arctg | Я |1/2 I Я j1/2
*12
1 *и *12
2р 1 Я11/2
(86)
I я |1/2
. I я |1/2
*22 arctg —^
42
Уравнение ж2 = ж2 дает
л 22 *12
*
12
Я
1Я|1/2 *ц arctg —г— '42
|Я|Я2
й22 arctg
или
(87)
7ц«22 "12
Ясно, что один из корней этого уравнения есть /ги = /г22. Другие корни
определяются выражением
11/2
arctg1"
или
Введя
tg
*11*22
*?2 I Я I1'2
12
IЯ [1/2
|Я|
*11*22*12
1/2
*12 ’ *11*22 приводим уравнение к виду
tg ах = х.
*12
*“ - < 1 ,
(88)
СТАТИСТИЧЕСКИЙ СВОЙСТВА эпиТбнётиЧбской СИСТЕМЫ 205
При а < 1 оно всегда имеет корни, так что условие h\2 ^huhzz обеспечивает
колебательное движение взаимодействующей системы.
Уравнение х\ = х^х2 дает
hog *12 1 *12
ТяЯ2 |Я|1/2 |Я+2 [ ЯI1/2 ’
А„ arctg —arctg
ИЛИ
nrr.fr 1Я11/г _ |Я|1/2 (*и + *12) | я |1/а / Alth12 +
hj, \
/г12 (*12 + *2г) ^12 (*11*12+*11*22' ’
или, наконец,
|Я[У2 /- AnAi2 + fe212 |Я|+2
*12 Ч *11*12 +*11*22 J *12
Поскольку йц/г22 > Ajg, получаем
*11*12+ *12 = b <ll *11*12+ *11*22
При ж=|Я|1/2//г12 уравнение принимает вид
tgte = x. (89)
Поскольку 6<1, это уравнение имеет корни. Уравнение х\ = х^2 дает
tg lg|1/2 ( *22*12+ *f2 Л __ 1 Я |1/з _
*12 Ч *22*12+ *11*22 J *12
Видно, что
*22*12 + *^2 _ ^ ^ |
*22*12+*11*22 ’
так что при ж = I Н |1/2/^i2 имеем
tgcx — x. (90)
Уравнения (88—90) не могут удовлетворяться одновременно, если не
выполняется равенство а = b = с. Они означают, что либо hl2 = 0, либо ha
— h2Z = 0, либо = — йц/222; ни одно из этих равенств не дает устойчи-
вого движения взаимодействующих осцилляторов. Взяв, однако, hu = h22, мы
удовлетворим уравнению (87) и сделаем Ь = с. Итак, три уравнения из (83)
удовлетворяются одновременно при hn = h22 и таких значениях hn и h12,
которые дают tg Ьх — х.
Произведя теперь в выражении (86) для х\ замену
arrt- \H\l/2 . \Н\1,г (hH + hl2)
hi 2 hn (*12 4" *22) ’
мы найдем, помня, что a\knk2i = alk12k22 (кц = 1г22),
~2:_ 1 _ 6 _
1 2(3 (*ц -|-*i2) 2 (fejj hi2)
в е
«2*21 («1*11 4~ «2*12) «2*12 («1*21 4" «2*22)
Это выражение справедливо также для XiX2 и ж®.
Корни уравнения (88) при больших 0 дадут х\ = однако мы видели, что эти
значения корней не соответствуют условию захватывания между
взаимодействующими осцилляторами. Какому типу взаимодействия
соответствуют эти условия, сказать нельзя. Невозможно также определить,
являются ли взаимоотношения между переменными устойчивыми в том смысле,
что при некоторых фиксированных значениях параметров первоначальное
соотношение между колебательными движениями х\ и х2 будет
восстанавливаться после возмущения. Вопрос об устойчивости
взаимоотношений между осцилляторами, который мы здесь рассматриваем,
