Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
скорости вращения Земли. Кроме того, чтобы использовать метод нормальных мод, надо пренебречь и вертикальным ускорением dw/dt. Условия, при которых это возможно, обсуждались в гл. 6.
Простейший способ учета указанных дополнительных слагаемых состоит в переходе к уравнениям в безразмерных переменных с использованием характерных для планетарных волн масштабов изменений по горизонтали (с/|3)1/2 и во времени ([к)-1/2. Масштаб для р'/ро равен произведению с на масштаб и и и. Вертикальный масштаб (см. разд. 6.11) определяется как c/Nr где N — частота плавучести. Масштаб для w (в соответствии с (6.11.4)) равен масштабу для и, умноженному на ay/N, где о>
имеет порядок ((Зс)1/2. При подстановке этих масштабов в
(11.9.1) оказывается, что ускорение Кориолиса, связанное с горизонтальной составляющей вращения, имеет по отношению к другим составляющим порядок 2Q/N. Таким образом, условие его малости таково:
2 Й<ЛГ. (11.9.4)
Обычно и в океане, и в атмосфере оно выполняется. При этом уравнение (11.9.1) приобретает вид
du/di — $yv == —- р0-1 др'/дх, (11.9.5)
а уравнение (11.9.3) превращается в уравнение гидростатики
(6.11.2). Система замыкается с помощью уравнения (11.9.2), условия несжимаемости (6.4.3) и уравнения (6.4.6) для возмущений плотности.
11.10. ЭКВАТОРИАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ С ВЕРТИКАЛЬНЫМ РАСПРОСТРАНЕНИЕМ
Уравнения для малых возмущений в несжимаемой стратифицированной жидкости были выведены в предыдущем разделе. При постоянной частоте плавучести N можно найти их решения, пропорциональные
exp (ikx 4- imz — Ш) (11.10.1)
и представляющие собой вертикально распространяющиеся волны. Как отмечалось в гл. 6, задачи вертикального распространения волн в полуограниченной области целесообразно решать, используя метод нормальных мод. Множество мод (6.11.21) является непрерывным и бесконечным. Дисперсионные соотношения имеют тот же вид, что и в предыдущих разделах этой главы, но собственное значение с (или се т. е. (gHe)1/2, где Не —
эквивалентная глубина), связанное с конкретной модой, определяется соотношением (6.11.21), т. е.
с = N/т. (11.10.2)
Необходимо помнить, что скорость с характеризует свойства конкретной моды, и за исключением особых случаев (например, случай волны Кельвина), она не равна фазовой скорости. Отметим, кроме того, что для изотермической сжимаемой жидкости
се определяется по формуле (6.17.40) и, если (4m2Hf) мало (#s — масштаб толщины), может быть аппроксимирована соотношением (11.10.2). Даже для вертикального масштаба, равного 20 км, это число получается примерно равным 0,03. Поэтому приближение несжимаемой жидкости оказывается справедливым.
Рассмотрим теперь дисперсионные соотношения для различных типов волн. Во-первых, после подстановки формулы (11.10.2) в дисперсионное соотношение для волн Кельвина (11.5.6) его можно записать следующим образом:
= (11.10.3)
где т* и k* являются безразмерными аналогами т и k, определяемыми с помощью соотношений
т* = m(j>2/$N, ?* = /гсо/|3. (11.10.4)
Дисперсионное соотношение (11.6.9) для смешанной планетарногравитационной волны (п = 0) приобретает в тех же обозначениях вид
т* = /г*+ 1, (11.10.5)
в то время как другие волны удовлетворяют соотношениям
(11.6.3), т. е.
т'2 — (2/г + Л)т* = /г*2 + k*, или
т* = /г + у± {(У + т)2 +^('г+ 1)}1/2- (1Ы0.6)
Положительный знак соответствует гравитационным волнам, отрицательный— планетарным волнам. Полный набор кривых показан на рис. 11.8. Кривые гравитационных волн являются гиперболами. Они лежат в верхней части рисунка. Кривые планетарных волн также являются гиперболическими. Они показаны на вставке с измененным масштабом по оси т*.
Как показывает формула (11.10.4), соответствующие кривые в плоскости т, k являются изолиниями равных частот. По определению групповой скорости она отклоняется вправо от указанных кривых и направлена в сторону роста оз. Ее направление показно на рис. 11.8 стрелками. Видно, что при всех положительных значениях т стрелки смотрят вниз. Кривые для отрицательных т получаются при отражении верхней части рисунка относительно оси k, и групповая скорость оказывается направленной вверх.
m*smaj*//3N
Рис. 8. Дисперсионные кривые вертикально распространяющихся экваториально захваченных волн. Здесь т — вертикальное волновое число, /е — зональное волновое число. В безразмерных переменных, полученных указанной на рисунке комбинацией частоты со, частоты плавучести N и параметра |3Г кривые образуют один набор. Направление групповой скорости, равной градиенту частоты в пространстве волновых чисел, показано стрелками. Кривые для отрицательных значений т получаются отражением относительно оси /г, групповая скорость при этом направлена вверх. На врезке слева показан увеличенный участок около начала координат, в котором находятся кривые планетарных волн с п = 1, 2. Верхние кривые с « = 1, 2 соответствуют гравитационным волнам. Кружками отмечены наблюдаемые волны (см. текст).
