Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 11.1. Дисперсионные кривые экваториальных волн. По вертикальной оси отложена частота в (2рс)1/2, по горизонтальной оси — волновые числа в (2р/с)|/2. Кривая с индексом «0» соответствует смешанной планетарно-гравитационной волне. Верхние кривые 1 и 2 относятся к двум первым гравитационным волновым модам, а две нижние кривые — двум первым планетарным волновым модам. (Воспроизведено из книги «Numerical Models of Ocean Circulation», 1975, с разрешения Национальной академии наук, Вашингтон.)
Величина экваториального радиуса Россби для баротропных волн в океане (с 200 м/с) имеет порядок 2000 км, так что теория захваченных волн может лишь с большой натяжкой согласоваться с приближением экваториальной p-плоскости. Однако, как будет показано далее (разд. 11.9), этот способ исследования уместен для бароклинных волн и в атмосфере, и в океане. Н при этом интерпретируется как эквивалентная глубина. Типичные для атмосферы значения c — (gH)x/2 равны 20—80 м/с, что дает экваториальный радиус Россби в пределах от 6 до 12 градусов широты (650—1300 км). Для бароклинных волн в океане типичные значения с находятся между 0,5 и
3 м/с. При этом экваториальный радиус Россби равен 100— 250 км.
Уравнение (11.5.3) показывает, что экваториальные волны Кельвина движутся на восток с постоянной скоростью с (как и в случае без вращения) и не испытывают дисперсии. Дисперсионное отношение между частотой со и зональным волновым числом k имеет простой вид (10.4.9), т. е.
(Эта кривая показана на общей дисперсионной диаграмме для экваториальных волн на рис. 11.1.) Для первой бароклинной моды в океане типичное значение с равно 2,8 м/с [876]. Таким образом, волне Кельвина для пересечения Тихого океана от Новой Гвинеи до Южной Америки необходимо около 2 месяцев. Для более высоких номеров мод в океане и тех воли, которые наблюдаются в атмосфере, скорости распространения становятся сравнимыми со скоростями течений. В этих случаях волновой анализ применим, лишь если среднее течение мало меняется на расстояниях порядка длины волны (см. разд. 8.12); при этом со в (11.5.6) интерпретируется как собственная (внутренняя) частота, или частота с учетом допплеровского сдвига <й, определяемая формулой (8.12.29).
11.6. ДРУГИЕ ЭКВАТОРИАЛЬНО ЗАХВАЧЕННЫЕ ВОЛНЫ
Кроме волны Кельвина существует также бесконечный набор экваториальных захваченных воли с масштабом захвата того же порядка, что и у волн Кельвина, т. е. равным экваториальному радиусу Россби (см. формулу (11.5.4)). Свойства этих волн были впервые детально рассмотрены в работах [530, 69]. Их можно исследовать, отыскивая решения, пропорциональные exp(ikx— iat). При этом (11.4.9) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
Затухающие при у-*- ±оо 'решения хорошо известны и даются (после взятия вещественной части) формулой
v = Dn ((2 |3/с)1/2 у) cos (kx — 0/) =
= 2~п/2Нп ((р/с)112 у) exp (— р//2с) cos (kx - со/), (11.6.2)
где Dn—-функция параболического цилиндра порядка п, а Нп — полином Эрмита порядка п ([196, гл. 8 и 10]). Соответствующим дисперсионным соотношением является
(11.5.6)
(0/с)2 — k2 — — (2п 4* 1) р/с,
(11.6.3)
и его кривые показаны вместе с кривой волны Кельвина на рис. 11.1.
Выражения для других переменных q и г можно получить с помощью (11.4.17), (11.4.18) и соотношений
(d№ + -i-|)0m = m0„_1, (d/di-yi)0m = -0m+„ (11.6.4)
выполняющихся для функций параболического цилиндра. В результате, используя равенство ? =(2|3/с)1/2г/, имеем
q = {ck-<i>)~x (2Рcf2Dn+j ((2р/с)1/2 у) sin {kx - со/), (11.6.5)
r = (ck + со)-1 (2|3с)1/2((2$lc)my) sin {kx — со/). (11.6.6)
Соответствующие выражения для и и ц вытекают из определений (11.4.15) и (11.4.16).
При п ^ 1 волны подразделяются на два класса. Для верхних ветвей слагаемое р&/а> в (11.6.3) оказывается малым, и дисперсионные кривые приближенно задаются формулой
со2~(2/г+ 1)рс + /г2с2. (11.6.7)
Относительная ошибка этой аппроксимации ограничена сверху величиной 2-3-3/2-(2/г-f-I)-1, максимальное значение которой при п = 1 равно 13%. Соответствующее дисперсионное соотношение совпадает с таковым для волн Пуанкаре (см., например,
(10.3.3)). Поэтому эти волны называются либо экваториально захваченными гравитационными волнами, либо экваториально захваченными волнами Пуанкаре. Более полно они будут обсуждены в следующем разделе.
Для кривых в нижней части графика в (11.6.3) мал член <о2/с2, и дисперсионные кривые приближенно определяются соотношением
<ю = — Р6/(62 + (2я+ 1)РА0- (11.6.8)
Относительная ошибка не превосходит 4-3-3 (2п -j- 1)2, т. е. ее максимальное значение равно 2% при п= 1. Соответствующие волны называются экваториально захваченными планетарными волнами (или экваториально захваченными волнами Россби). Их дисперсионные кривые совпадают по виду с кривыми (10.12.9) шельфовых волн. Связано это со сходством динамики волн, которое будет отмечено при обсуждении планетарных волн в разд. 11.8.
